Задача по "Теории игр"

 

1)

 а) Решить игру с природой  по критерию Гурвица, α=0,4;

б) Решить игру с природой по критерию Лапласа;

в) Решить игру с природой по критерию Сэвиджа;

г) Решить игру с природой по критерию Вальда.

 

 

Решение

а) Согласно критерию Гурвица, гипотеза о поведении среды состоит в том, что наихудший вариант реализуется с вероятностью , а наилучший – с вероятностью . Тогда оценкой стратегии является число , а оптимальная стратегия находится из условия

Таким образом, можно записать:

Тогда оптимальная  стратегия 

б)

Таким образом, можно записать:

Тогда оптимальная  стратегия 

 

В) Критерий Сэвиджа.

Находим матрицу  рисков.

Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.

1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.

r₁₁ = 9 - 9 = 0; r₂₁ = 9 - 2 = 7; r₃₁ = 9 - 1 = 8;

2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.

r₁₂ = 8 - (-3) = 11; r₂₂ = 8 - 5 = 3; r₃₂ = 8 - 8 = 0;

3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.

r₁₃ = 9 - 4 = 5; r₂₃ = 9 - 9 = 0; r₃₃ = 9 - 6 = 3;

 

Результаты  вычислений оформим в виде таблицы.

Ai	П1	П2	П3	max(aij)
A1	0	11	5	11
A2	7	3	0	7
A3	8	0	3	8

 

Выбираем  из (11; 7; 8) минимальный элемент min=7

Вывод: выбираем стратегию N=2.

 

 

г) Критерий Вальда.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

a = max(min a_ij)

Критерий  Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

 

Ai	П1	П2	П3	min(aij)
A1	9	-3	4	-3
A2	2	5	9	2
A3	1	8	6	1

 

Выбираем  из (-3; 2; 1) максимальный элемент max=2

Вывод: выбираем стратегию N=2.

 2)Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций.

 

 

 

 

		В1	В2		В3			1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
А1		1	0		8	*		0	1		2	3	3	11	19	27	35*	35	43*	43	43	43	43	51	59	67*	67*	67
А2		6	4		2			4	10*		16*	22*	26*	28*	30*	32*	34	38*	40	44*	48*	52*	56*	58*	60*	62	66	70*
А3		0	5		3			5*	5		5	5	10	13	16	19	22	27	30	35	40	45	50	53	56	59	64	69
	1			0*			8
	1*			5			11
	7*			9			13
	13*			13			15
	19			17*			17
	25			21			19*
	31			25			21*
	37			29			23*
	42			33			25*
	43			33*			33
	49			37			35*
	50			37*			43
	56			41*			45
	62			45*			47
	68			49*			49
	74			53			51*
	80			57			53*
	86			61			55*
	87			61*			63
	88			61*			71

 

В рассматриваемой  задаче сделано 20 шагов. За эти двадцать шагов игрок А применил свою первую стратегию (количество звездочек в суммарных выигрышах, соответствующей первой стратегии) 4 раза; вторую - 15 раз; третью - 1 раз. Игрок В применил стратегию В1 три раза; вторую - 9 раз; третью - 8 раз. Следовательно, приближенные оценки оптимальных стратегий, полученные за 20 итераций, равны:

Приближенную  цену игры определим как среднеарифметическое между нижней оценкой игры , равной минимально накопленному выигрышу игрока А, деленному на число шагов k, и верхней оценкой игры, равной максимальному суммарному проигрышу игрока В, деленному на k:

 3)Решить игру симплекс-методом.

 

Решение

Запишем соответствующую  задачу математического программирования и решим ее симплексным методом:

 

 

 

Шаг 0
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
x5	1	1	2	3	0	1	0	0	0
x6	1	2	8	6	1	0	1	0	0
x7	1	5	7	4	6	0	0	1	0
x8	1	3	2	1	6	0	0	0	1
ИС	0	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0

 

Шаг 1
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
x5	4/5	0	3/5	11/5	-6/5	1	0	-1/5	0
x6	3/5	0	26/5	22/5	-7/5	0	1	-2/5	0
x1	1/5	1	7/5	4/5	6/5	0	0	1/5	0
x8	2/5	0	-11/5	-7/5	12/5	0	0	-3/5	1
ИС	1/5	0	2/5	-1/5	1/5	0	0	1/5	0
Шаг 2
Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
x5	1/2	0	-2	0	-1/2	1	-1/2	0	0
x3	3/22	0	13/11	1	-7/22	0	5/22	-1/11	0
x1	1/11	1	5/11	0	16/11	0	-2/11	3/11	0
x8	13/22	0	-6/11	0	43/22	0	7/22	-8/11	1
ИС	5/22	0	7/11	0	3/22	0	1/22	2/11	0

 

Таким образом, цена игры равна 22/5, стратегии игроков:

 

4) Решить игру графически.

Решение

 

  9    5

5-  нижняя цена игры

5- верхняя цена игры

5 = 5

 

Данная платежная  матрица имеет седловую точку – элемент а₂₂, который является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Поэтому цена игры равна 5, а стратегии игроков p₂=1, q₂=1, все остальные компоненты равны нулю.

  5 Найти верхнюю и нижнюю цену игры, проверить игру на наличие седловой точки

 

Решение

α – нижняя цена игры

 

β – верхняя цена игры

				min	max
	1	-3	4	1
	2	5	9	2	2
	0	-5	6	-5
	1	3	2	1
max	2	5	9
min	2

Данная платежная  матрица имеет седловую точку – элемент а₂₁, который является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Поэтому цена игры (и верхняя, и нижняя) равна 2, а стратегии игроков p₂=1, q₁=1, все остальные компоненты равны нулю.