Задания по "Информатике"

Задание 1.1 Операционное исчисление

Записать уравнение в  изображении по Карсону следующего уравнения:

                                    (1)

В общем виде изображение  по Карлсону уравнения (1) представим следующим образом:

(2)

На основании теоремы  суперпозиции из (2) получаем:

     (3)

На основании теоремы  линейности (3) запишем в виде:

(4)

На основании изображений  производной и синуса (4) перепишем в следующем виде:

(5)

На основании изображения  функции с запаздывающим аргументом уравнение (5) запишем в виде:

(6)

Уравнение (7) является решением исходной задачи.

 

Задание 1.2 Общие  принципы системной организации

Записать дифференциальные уравнения по известным передаточным функциям.

(8)

Учитывая  и (8) запишем:

(9)

откуда

(10)

Освободившись от знаменателей:

(11)

Произведя замену s на p запишем (11) в операторной форме:

(12)

Учитывая, что , и переходя от операторной формы уравнения (12) к оригиналу, получим искомое решение:

(13)

 

Задание 1.3 Одноконтурные  системы управления. Законы регулирования

Для системы (рисунок 1) определить статическую ошибку при использовании ПИД-регулятора.

Рисунок 1 - Схема одноконтурной системы управления

 

- передаточная функция  ПИД-регулятора.

 

Решение

 

Статическую ошибку можно определить по формуле:.

1. Определим передаточную функцию разомкнутой одноконтурной системы.

 

с учетом исходных данных.

 

тогда

 

Подставляя исходные данные, получим:

 

Последующее преобразование дает следующий результат:

 

Это выражение представляет собой изображение динамической ошибки. Изображение статической ошибки определим, полагая s=0: Е(0)=0.Следовательно, статическая ошибка регулирования, исходя из свойств операционного исчисления, Δ = 0.

 

Задание 1.4 Построение частотных характеристик и годографа  Михайлова

Задание типа 1. Для автоматической системы регулирования с передаточной функцией вида построить частотную характеристику в соответствии с данными таблицы 1.

 

Таблица 1 - Исходные данные

Частотная характеристика	Т, с	K
АЧХ	4	2

 

Коэффициент усиления

Постоянная времени

_АЧХ

Диапазон изменения частоты

Частотная характеристика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание типа 2. Для передаточной функции вида (14) построить годограф (кривую) Михайлова D(j) и определить устойчивость системы в соответствии с данными таблицы 2. Пояснить ход решения.

 

Таблица 2 - Исходные данные

Т1,с	Т2,с	Т3,с	b0
1	1	2	2

 

Решение

 

Запишем для (14) характеристический полином замкнутой системы

(15)

Заменяем в нем s на  j , получим

(16)

Выделим из (16) вещественную и мнимую составляющие:

             (17)

Тогда аналитическая запись годографа Михайлова будет представлена в виде:

 

Для решаемого случая она  будет иметь вид:

 

Графическое построение D( j ) осуществляется поточечно в осях  , на основании (17) при изменении частоты в заданных пределах. Годограф Михайлова позволяет определить устойчивость системы на основании критерия Михайлова.

Для решения поставленной задачи определим  и  для четырёх значений частоты:

 

Строим годограф Михайлова:

Рисунок 2 - Годограф Михайлова

Как видно из графика, кривая Михайлова удовлетворяет требованиям  критерия Михайлова и, следовательно, рассматриваемая система устойчива.

 

Задание 2.1 Устойчивость систем управления

Задание типа 3. Определить границы апериодической устойчивости по параметру K.

 

 

Решение

 

Запишем определитель этой системы:

 

Выделим из этого определителя определитель третьего порядка Δ₃  , в состав которого входит искомый параметр  K, и приравняем Δ₃ к нулю:

 

Вычислим определитель Δ3:

 

Преобразуя получаем квадратное уравнение 

 

Данное уравнение имеет  два решения K₁=-3 и K₂=1. Следовательно, при данных значениях система будет находиться на границе колебательной устойчивости.

 

Задание типа 5. Построить область устойчивости в плоскости одного параметра (K) для системы, характеристическое уравнение которой имеет вид:

(18)

используя данные таблицы 3.

 

Таблица 3 - Исходные данные

Т1, с	Т2, с
6	3

 

Решение

 

Запишем уравнение (18) в виде передаточной функции:

(19)

Для решения задачи запишем  передаточную функцию замкнутой системы по управляющему воздействию в виде:

 

Подставив значения получим:

(20)

Запишем для замкнутой  системы выражение для кривой Михайлова для чего в уравнении (20) заменим p на и разделим слагаемые на вещественную и мнимую части.

(21)

Условием нахождения системы, на границе устойчивости исходя из критерия Михайлова является:

(22)

Тогда приравняв (21) к нулю и разрешив его относительно  K получим:

(23)

Изменяя вычислим его вещественную и мнимую составляющие и по полученным точкам строим на комплексной плоскости кривую Д – разбиения.

 

	0	0,5	1	1,5	2
	0	-1,5	-6	-13,5	-24
	0	1,5	3	4,5	6

 

Учитывая симметричность кривой Д  – разбиения относительно абсциссы комплексной  плоскости осуществим ее построение.

Рисунок 3 - Кривая Д-разбиения и область устойчивости

 

Крива Д – разбиения разделяет комплексную плоскость на две области I и II. В соответствии с правилом штриховки, накладываем ее на кривую Д –разбиения во внутрь области II. Далее определим количество правых корней в области II, т.к. она является претендентом на область устойчивости.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы для точки {0,0}, где k=0 а именно:

(24)

Его корни имеют вид:

(25)

т.е. имеет один нулевой корень и второй корнь с отрицательной вещественной частью. Следовательно область II является областью нейтральной устойчивости и в связи с правилом штриховки, кривую Д  – разбиения надо штриховать однократной штриховкой.

Учитывая, что  параметр k является вещественным и положительным числом отбрасываем его комплексные и отрицательные значения и область устойчивости превращается в отрезок, определяемый неравенством:

.

 

Задание 2.2 Частотные  критерии устойчивости

Определить, устойчива ли замкнутая система, если разомкнутая описывается дифференциальным уравнением вида:

(26)

используя данные таблицы 4. Пояснить ход решения.

 

Таблица 4 - Исходные данные

Т1, с	Т2, с	Т3, с	аn	b0
1	2	6	3	3

 

 

Решение

 

1. Необходимо определить характеристическое уравнение системы (26):

(27)

Проверяем устойчивость разомкнутой системы. Так как все коэффициенты (27) положительны, то ее устойчивость определяем по знаку Δ₂.  Δ₂=6∙2-1∙2>0.

Следовательно, разомкнутая  система устойчива.

2. Проверяем выполнение условия устойчивости замкнутой системы по

для статической системы, где  W(s) – амплитудно-фазовая  характеристика разомкнутой системы, определяемая из (26)

(28)

Исходя из общих правил построения АФЧ, получим.

     (29)

В (29) первое слагаемое вещественная составляющая, вторая – мнимая составляющая АФЧ (соответственно  и  ).

Придавая в радианах значения для от 0 до , вычисляем и , и поточно, в координатных осях  - , строим АФЧ разомкнутой системы.

Количество значений не менее четырех, а далее – исходя из необходимости.

	0	0.05	0.1	0.15	0.25	0.3	0.4	10
	3	2,245	1,179	0,538	0,016	-0,086	-0,175	-0,00168	0
	0	0,479	0,592	0,533	0,365	0,301	0,207	-0,00027	0

 

Рисунок 4 - АФЧ разомкнутой системы (18)

Из рисунка видно, что  вектор  , начало которого лежит в точке , при изменении частоты от 0 до , поворачивается на угол равный нулю, а соответствующая  W(s) не охватывает эту точку, т.е. . Следовательно, замкнутая система автоматического регулирования устойчива.

 

Задание 3.1 Управляемость  и наблюдаемость

Задание типа 2. Определить, наблюдаема ли система, если она задана системой уравнений (30). Решения пояснить.

(30)

Для данной системы:

 

Ранг матрицы равен двум следовательно система (30) наблюдаема.

 

Задание 3.2 Математические модели. Структурный метод

Изобразить структурную  схему системы, модель которой описывается 

системой дифференциальных уравнений:

 

Пояснить, какой вид модели используется и порядок построения структурной схемы.

Проинтегрируем уравнения  состояния, получим:

 

_{В соответствии с этой системой уравнений  структурную схему исходной системы можно представить в виде:}

 

Рисунок 5 - Иллюстрация структурной схемы к уравнениям состояния и выхода