Қалааралық телефон желісіндегі тікелей буманың тураланған моделімен маршруттау алгоритмін моделденуі

 

[(J_НБЕ1 - J´_НБЕ1)µ₁ + (J_НБЕ2 - J´_НБЕ2) µ₂]( 1 – а₁) (1 – а₂) = Ι_БЕ1α₁;

 

[(J_ЖЖ1 - J´_ЖЖ1)µ₁ + (J_ЖЖ2 - J´_ЖЖ2) µ₂(J_З - J´_З)µ₃]( 1 – а₁) (1 – а₂) = Ι_ЖЖ1α₁.

 

3.1.1 Эрланг формуласын  қолдануға негізделген модельді  есептеудің жуық алгоритмі

Ықтималдықтың сипаттамалық бағасын алу үшін зерттеліп отырған модельге бастапқы ағын интенсивтілігімен таңдалған сәйкесінше Эрланг моделін келтіреміз [17].

 Осы мақсатпен қайталанған  шақырулар ағыны х белгісіз  қарқындылығымен Пуассон заңына  бағынады деп қарастырамыз және  қызметтегі  көп кезеңді бір  кезеңді γ(х) белгісіз параметрімен ауыстырамыз.

х мәні сақтау заңынан  шығатын айқындалмаған теңдеу есебінен анықталады (3.1 теңдеу).

Берілген соңғы формуламен ғана шектелейік. Белгіленулерін еңгізейік:

 

x₁=J₁µ₁+J₂µ₂; x₂=J_НЗ1µ₁+J_НЗ2µ₂; x₃=J_НО1µ₁+J_НО2µ₂+J₃µ_3.

 

Қайталанған шақырулардың қарқындылығы х айқындалмаған теңдеу есебінен анықталады:

 

х=х₁+х₂ + х₃,                                                                                                  (3.3)

 

Мұндағы: х_1, х₂, х₃ формула бойынша табамыз:

 

x₁ = [λ(а₁с₁ + (1 – а₁)(а₂ + (1 – а₂)(1 – р₁(1 - π(х))H₁)]/[1 – a₁c₁ – (1 – a₁)(a₂ +

 

+(1 – a₂)(1 – p₁(1 – π(x))) H₂],

 

x₂ = x´_2/ x´´₂,

 

x´₂ = (1 – a₁)(1 – a₂)(1 – π(x))p₁(λH₁(1 – p₂) + x₁(H₂(1 – p₂) – H_ЖЖБ)1 –

 

– p_ЖЖНБЕ)) + x H_ЖЖБ(1 – p_ЖЖНБЕ)),

 

x₃ = x´_3/ x´´₃,

 

x´₃ = (1 - π(х)(1 – а₁)(а₂ + (1 – а₂)р₁((λH_ЖЖ1 + x₁H_ЖЖ1)р₂(1 – p₃) +                  

 

+ x₂ H_БЖЖр_НЕБНЕБ(1 – p_НБЕЖЖ)),

 

x´´₃ = 1 – a₁c₁ – (1 – a₁)(a₂H_ЖЖБ + (1 – a₂)(π(х)H_ЖЖБ + (1 – а₂)(π(х)H_ЖЖБ +

 

+ (1– π(х))((1 – p₁)H_ЖЖБ + p₁ p_ЖЖНБЕ(1 – p_ЖЖЖЖ) H_ЖЖЖЖ))).

 

Жазбада  х ₁, х₂, х₃ келесі белгіленулермен қолданылған:

 

 

 

 

P*, N*_z, N*₀ константтары тек қана модельдің бастапқы параметрлеріне ғана тәуілді және берілген теңдеу бойынша анықталады:

 

P* = 1 + α₁p₁/α₂ + α₁p₁p₂p₃/α´´₃ + α₁p₁p₂(1 - p₃)/α´₃ + α₁p₁p₂p₃/α₄;

 

N*_z = 1 + α₁p₁/α₂ + α₁p₁p_НБЕНБЕp_НБЕЖЖ/α´´₃ + α₁p₁p_НБЕНБЕ(1 – p_НБЕЖЖ)/α´₃ + 

 

+ α₁p₁p_НБЕНБЕp_НБЕЖЖ/α₄;

 

N*₀ = 1 + α₁p₁/α₂ + α₁p₁p_ЖЖНБЕp_ЖЖЖЖ/α´´₃ + α₁p₁p_ЖЖНБЕ(1 – p_ЖЖЖЖ)/α´₃ +

 

+ α₁p₁p_ЖЖНБЕp_ЖЖЖЖ/α₄.

 

Айқындалмаған теңдеуді әр бір қадамда Эрланг формуласына  жуықтатып тізбектей жуықтау  әдісімен шешуге болады (3.2 теңдеу).

х-ті анықтағаннан кейін барлық шығыс  моделінің  ықтималдық сипатын бағасын  базалық модельдігей іздейміз. Олар келесі түрге ие:

 

                                                                           (3.4)

 

 

 

 

 

 

3.1.2 Қарапайым түрдегі толықтай қолжетімді бума моделін түрлендіру

 

Зерттеліп отырған ҚТС  моделінің ҚТС-тің тікелей бума ықтималдық сипаттамасының бағасын тапқаннан кейін, қайталанған шақырулардың ағыны пуассондық деп болжауға болады. Аз және көп жүктеме аумағында сондай-ақ үлкен бумаларға бұл жағдай толықтай құптауға лайық болады. Келесі  бағалауды нақтылау «пуассондылықты» бұзатын себептерді жоятын жолмен жүру керек [17].

Бүкіл бума жолдардың бос болмауының нәтижесінде байланысудың соңғы әрекетінде бас тартуға ие болған абоненттерді қарастырайық. Осыдан көрінетіні абоненттердің біріншіге қарағанда келесі байланысу әрекетінде бумалардың бүкіл линияларының бос болмау күйіне сәйкес келу ықтималдығы үлкен болады. Модельдің бұл қасиеті қайта шақырулар ағынының қосындысының пуассондылық гепотезасын бұзады, өйткені оның орындалуының кезінде қайталанған шақырулар үшін жүйенің күйі тең ықтималды болады. Енді  алдыңғы бөлімде қолданылған жуықтау әдісін қалай анықтау түсінікті болады. Жеңілдетілген модельде қолжетімді жолдардың бос болмауына байланысты шақыруларды қайталап жатқан абоненттерді сақтап, ал пуассондыққа қалған қайталанған шақырулар ағынын ауыстырамыз. Оны іске асыру үшін қолжетімді жолдардың бос болмауына байланысты бас тартуға ие болған абоненттердің қайта шақыруларын бөліп алуға мүмкіндік беретін абонент пен қызмет көрсететін жүйенің өзара әрекеттесу процесін анықтау қажет. Қызмет көрсетілуде бас тартуға ие болуды белгілеу үшін кейбір символдарға өзгеріс еңгіземіз. Енді БЕЛ символы бума жолының бос болмауынан нәтижесіндегі бас тартуды, ал Б´  қалған  бұғатталудың нәтижесіндегі бас тартуды (НБЕ басқа) білдіретін болады. Келесі баяндауды жеңілдету үшін  а₁ = а₂ = 0 деп аламыз. Қалған символдардың мағынасы алдыңғы бөлімде қарастырылған нақты модельдегідей болып қалады [17].

Модельдің жұмыс жасауын суреттейтін марковтық процестің компанентін анықтауға көшеміз. Төртінші бөлімдегідей компанентті анықтау кезінде модельдің нақты нұсқасымен салыстырғанда болатын өзгерістерді қарастырайық. Өйткені біз  а₁ = 0 болады, ал бірінші типті ҚШК болмайды деп қарастырғанбыз. Бірақ бұғатталу нәтижесінде пайда болатын  ҚШК алты топқа бөлінеді. Б´, БЕЛ кез келген  символдардың соңғы комбинациясы {Б´, БЕЛ } деп   белгілейміз. Модельдің жұмыс жасауын суреттейтін марковтық процестің компонентін анықтау мынандай түрге ие болады: j₂(t) –  t уақыт моментінде қызмет көрсететін жүйемен өзара әрекеттесу тарихы бар абонент санының түрі

({Б´, ЖБЕ}, Б´); j_ЖБЕ2(t) - … - ({Б´, ЖБЕ}, ЖБЕ); j_НБЕ2(t) - … (..., НБЕ, {Б´, ЖБЕ}; (..., НБЕ, {Б´, ЖБЕ}, НБЕ), ({Б´, ЖБЕ}, НБЕ), (..., ЖЖ, {Б´, ЖБЕ}, НБЕ); j_{НБЕЖБЕ2}(t) - ,…, (..., НБЕ,{Б´, ЖБЕ}, ЖБЕ); j_ЖЖ2(t) - …, (..., ЖЖ,{Б´,ЖБЕ}, Б´);  j_ЖЖЖБЕ2(t) - …, (..., ЖЖ,{Б´,ЖБЕ}, ЖБЕ). Жуықталған әдісті құруды сақталу заңынын жазылуларымен бастаймыз.  Олар қабылданған белгіленулерінде мынандай түрге ие:

 

J₂µ₂=(1-р₁)(I_Π1α₁H₁ + I_Π1α₁H₂);                                                                     (3.5)

 

J_ЖБЕ2µ₂ = (J´_ЖБЕ2µ₂ + J´₂µ₂)H₂ + λπH₁;

 

J_ЖБЕ2µ₂ = (I_ЖБЕ1α₁(1 - р₁)Н₂+ J´₂µ₂)H₂ + I_2Әα₂(1 – р₂)H₁ + I_ШҚ2α₂(1 – р₂)H₂+

 

+ I_НБЕ2α₂(1 – р_НБЕНБЕ)H₂ + I_ЖЖ2α₂(1 – р_ЖЖНБЕ)H_БЖЖ;

 

J_{НБЕЖБЕ2}µ₂ = (J´_НБЕ2µ₂ + J´_НБЕЖБЕµ₂)H₂;

 

J_ЖЖ2µ₂ = (I_ЖЖ1α₁ (1 - р₁)H_БЖЖ;

 

J_ЖЖЖБЕ2µ₂ = (J´_ЖЖ2µ₂ + J´_ЖЖЖБЕµ₂ + J´_Зµ₃)H_БЖЖ;

 

J_Зµ₃ = I´_3Әα´₃H_ЖЖ1 + I´_ШҚ3α´₃H_БЖЖ + I´_НБЕ3α´₃H_БЖЖ + I´_ЖЖ3α´₃H_ЖЖЖЖ;

 

I_1Әα₁р₁ = I_2Әα₂;

 

 I_2Әα₂р₂р₃ = I´´_3Әα´´₃;

 

I_2Әα₂р₂(1 – р₃) = I´_3Әα´₃;

 

I´´_3Әα´´₃ = I_4Әα₄;

 

I_ҚШ1α₁р₁ = I_ҚШ2α₂; I_ҚШ2α₂р₂р₃ = I´´_ҚШ3α´´₃;

 

I_ҚШ2α₂р₂ (1 - р₃) = I´_ҚШ3α´₃; I´´_ҚШ3α´´₃ = I_ҚШ4α₄;

 

I_НБЕ1α₁р₁ = I_НБЕ2α₂; I_НБЕ2α₂р_НБЕНБЕр_НБЕЖЖ = I´´_НБЕ3α´´₃;

 

I_НБЕ2α₂р_НБЕНБЕ(1 - р_НБЕЖЖ) = I´_НБЕ3α´₃; I´_НБЕ3α´₃ = I_НБЕ4α₄

 

I_ЖЖ1α₁р₁ = I_ЖЖ2α₂; I_ЖЖ2α₂р_ЖЖНБЕр_ЖЖЖЖ = I´´_ЖЖ2α´´₃;

 

I_ЖЖ2α₂р_ЖЖНБЕ(1 – р_ЖЖЖЖ)  = I_ЖЖ3α´₃; I´´_ЖЖ3α´´₃ = I_ЖЖ4α₄;

 

λ(1 - π) = Ι_1Әα₁;

 

((J₂ – J_ЖБЕ2) - (J´₂ - J´_ЖБЕ2))µ₂ = Ι_ҚШ1α₁;

 

((J_НБЕ2 + J_{НБЕЖБЕ2}) - (J´_НБЕ2- J´_{НБЕЖБЕ2}))µ₂ = Ι_НБЕ1α₁;

 

((J_ЖЖ2µ₂ + J_ЖЖЖБЕ2µ₂ + J₃µ₃) - (J´_ЖЖ2µ₂ + J´_ЖЖЖБЕ2µ₂ + J´₃µ₃) = Ι_ЖЖ1α₁.

 

 

Бастапқы моделің ықтималдық сипаттамасын бағалауды құруда қолданылатын жеңілдетілген модель (Н₁*, Н₂*; µ₂) – абонентті М/М/v түрге ие болады. Бастапқы модельді осындай типті модельге келтіру үшін бүкіл бума жолдардың бос болмау себебіне байланыссыз пайда болған қайта шақырулар ағынын пуассондыққа және көп кезеңді қызмет көрсетуді бір кезеңдігі шарттасқандай ауыстырамыз. х қайталанған шақырулардың интенсивтілігі, ал γ(х)  бір кезеңді қызмет көрсету параметрі деп белгілейміз [1].

Сонда марковтық статикалық тепе-теңдігінің теңдеуінің жүйесі мына түрде болады:

 

(λ + x + jµ₂ + iγ(x))P(i,j) = (λ+х) P(j,i + 1)(i + 1) γ(x),                                 (3.6)

 

i = 0, 1, …,N – 1, i=0,1,…,υ–1;                                                                    

                                                             

(λ + x + jµ₂ + iγ(x))P(i,j) = (λ+х) P(j,i - 1)(i + 1) (i +1)γ(x),

 

j = N, i = 0, 1, …,υ – 1;

 

((λ + x)H*₁ + jµ₂(1 - H*₂) + iγ(x))P(i,j) = (λ+х) P(j,i - 1) + P(j + 1, i - 1)(j +    

 

+1) µ₂ + (λ+х) H*₁P(j – 1,i) + P(j + 1, i)(j + 1) µ₂ (1 - H*₂),

 

j = 0, 1, …, N – 1, i = υ;

 

(jµ₂(1 - H*₂) + iγ(x))P(i,j) = (λ+х)P(j,i - 1) + (λ+х) H*₁P(j – 1,i), j = N, i = υ.

 

мұндағы Р(j,i) – модельдің стационарлық ықтималдылықтары (j –шақыруларды қайталап жатқан абонент саны; i – бумадағы бос емес линиялар саны); Н₁* және Н₂* - тұрақтылық функциясының жалпыланған мағынасы (оның анықтамасы сосын беріледі); N – ҚШК-ның максималды рауалы саны;

Р(j,i) үшін номалау шарты  орындалған:

 

 

Модельдің негізгі ықтималдылық сипаттамасын еңгіземіз: уақыт бойынша жоғалту ықтималдылығы; бос емес линиялардың орташа саны; шақыруларды қайталап жатқан абоненттердің орташа саны;

Барлық линиялар бос  емес моментінде жүйедегі шақыруларды  қайталап жатқан абоненттердің орташа саны.  π*, I*, J*, J*´ ықтималдылық сипаттаманың жеңілдетілген моделдері бастапқы модельдің сипаттамаларының сәйкес бағалары болады. Р(j,i) ықтималдылықтары сәйкесінше π*, I*, J*, J*´ х параметрлерінің белгісіз функциялары болып табылады.  х-ті анықтау үшін сақтау заңын х-ке қатысты анық емес теңдеуге түрлендіру арқылы есептейміз [17]. 

π*, I*, J*, J*´ ықтималдылық сипаттамаларын анықтау үшін x, γ(x), Н₁*, Н₂* анықтау керек. Белгілеулерді еңгіземіз:

 

 

x₁ = [(1 – p₁)(λH₁(1 - π*(x)) + (J_ЖБЕµ₂ - J´_ЖБЕµ₂) H₂)]/[1 – (1 – р₁)H₂(1 –

 

– π*(x))];

 

x´₂ = р₁(1 – p₂)(λ(1 - π*(x)) H₁ + x₁(1 - π*(x)Н₂ + (J_ЖБЕ - J´_ЖБЕ)µ₂H₂) + р₁(1 –

 

– π*(x)) + (J_ЖЖЖБЕµ₂ - J´_ЖЖЖБЕ)µ₂)H_БЖЖ + (1 – p₁p_НБЕНБЕ)*(J_ЖЖЖБЕµ₂ -

 

– J´_ЖЖЖБЕ) µ₂Н₂;

 

x´´₂ = 1 – (1 - π*(x))(1 – p₁p_НБЕНБЕ)Н₂ - p₁p_НБЕНБЕ H_БЖЖ);

 

x₃ = x´_3/x´´₃,

 

x´₃ = p₁p₂(1 – p_З)((λH_ЖЖ1 + х₂H_БЖЖ)(1 - π*(x)) + (J_ЖБЕ - J´_ЖБЕ)µ₂H_БЖЖ +

 

p₁p_НБЕНБЕ(1  – p₁p_НЗНО)(х₂H_БНО)(1 - π*(x)) + (J_НЗЛЗ - J´_НЗЛЗ) µ₂Н₂) + (J_НОЛЗ –

 

– J´_НОЛЗ)

 

µ₂(p₁p_ЖЖНБЕ(1 – p_ЖЖЖЖ)H_ЖЖЖЖ + (1 - p₁)H_БЖЖ),

 

x´´₃ =  1 – (1 - π*(x))((1 - p₁)H_БЖЖ + p₁p_ЖЖНБЕ(1 – p₁p_ЖЖЖЖ)(H_ЖЖЖЖ).

 

Сонда х белгісіз қарқындылығы анық емес теңдеу арқылы анықталады:

 

х= х₁+х₂ + х₃.                                                                                                 (3.7)

 

(3.6) теңдеуіне кіретін жеке шамаларға анықтама берейік.

 

  1)  J_ЖБЕ, J_НБЕЖБЕ, J_ЖЖЖБЕ, J´_ЖБЕ… мағыналары  келесі   қатынастармен анықталады:

 

J_ЖБЕ =

 

J_НБЕНБЕ =

 

J_ЖЖЖБЕ =

 

J´_ЛЗ = J_ЖБЕ

 

J´_НБЕЖБЕ = J_НБЕЖБЕ

 

J´_ЖЖЖБЕ = J_ЖЖЖБЕ

 

2.   абоненттің тұрақтылығының жалпы шамасы келесі формулаларымен анықталады: