Помехоустойчивое кодирование

КРАТКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ

 Рис. 4 — Классификация помехоустойчивых кодов. 

К настоящему времени разработано иного различных  помехоустойчивых кодов, отличающихся друг от друга основанием, расстоянием, избыточностью, структурой, функциональным назначением, энергетической эффективностью, корреляционными свойствами, алгоритмами кодирования и декодирования, формой частотного спектра. На рисунке, представленном выше, приведены типы кодов, различающиеся по особенностям структуры, функциональному назначению, физическим свойствам кода как сигнала.

Наиболее важный подкласс непрерывных кодов образуют свёрточные коды, отличающиеся от других непрерывных кодов методом построения и более широкой областью применения.

В общем случае чем длиннее код при фиксированной избыточности, тем больше расстояние и тем выше помехоустойчивость кода. Однако длинные коды сложно реализуются. Составные коды дают компромиссное решение задачи; из них основное значение имеют каскадные коды и коды произведения. Как правило, каскадный код состоит из двух ступеней (каскадов): внутренней и внешней. По линии связи сигналы передают внутренним кодом n_вт, символьные слова которого являются символами внешнего кода длины n_вш. Основание внешнего кода равно q_вт^k.

Коды произведения строят в виде матрицы, в которой строки суть слова  одного кода, а столбцы - того же или  другого кода.

При формировании каскадного кода входную  информационную последовательность символов разбивают на блоки по k_вт символов в каждом, каждый блок сопоставляют с информационным символом внешнего кода из алфавита, содержащего q_вт^k значений символов. Затем k_вш информационных символов внешнего кода преобразуют в блоки из n_вш символов внешнего кода и, наконец, блоки из k_вт информационных символов внутреннего кода преоб-разуют в блоки из n_вт символов внутреннего кода. Возможны различные варианты: внешний и внутренний коды - блочные, внешний блочный - внутренний свёрточный, внешний свёрточный - внутренний блочный, внешний и внутренний сверточные.

Один из наиболее распространенных методов формирования кода произведения заключается в последовательной записи по k₁ символов входной информационной последовательности в k₂ строк матрицы (например, в ячейки памяти ОЗУ), добавлении избыточных символов по n₁-k₁ в каждую строку и по n₂-k₂ в каждый столбец, после чего в последовательность символов кода считывают по строкам или столбцам из матрицы. Физическим аналогом кода произведения является, в частности, частотно-временной код, у которого строки располагаются вдоль оси времени, а столбцы - по оси частот.

Параметры составных кодов: каскадных - n=n_вшn_вт, k=k_вшk_вт, d=d_вшd_вт; произведения - n=n₁n₂, k=k₁k₂, d=d₁d₂.

Производные коды строят на основе некоторого исходного кода, к которому либо добавляют символы, увеличивая расстояние (расширенный код), либо сокращают  часть информационных символов без  изменения расстояния (укороченный  код), либо выбрасывают (выкалывают) некоторые  символы (выколотый, или перфорированный  код). Код Хэмминга дает пример процедуры  расширения, увеличивающей расстояние кода с 3 до 4. Необходимость в выкалывании  возникает в результате построения на основе исходного кода другого, менее  мощного, более короткого кода с  тем же расстоянием.

При более широкой трактовке  термина "производный код" к  этому классу можно отнести все  коды, полученные из исходного добавлением  или исключением как символов, так и слов.

Формально деление кодов на двоичные и недвоичные носит искусственный  характер; по аналогии следует выделять троичные, четверичные и другие коды большего основания. Оправдывается  такое деление усложнением алгоритмов построения, кодирования и декодирования  недвоичных кодов.

При прочих равных условиях желательно, чтобы информационные и избыточные символы располагались отдельно. В систематических кодах это условие выполняется. В циклических кодах каждое слово содержит все свои циклические перестановки. Все n циклических перестановок (слова длины n) образуют цикл. В квазициклических кодах цикл образуется на числе символов n-1 или, реже, n-2. Циклические коды важны как с точки зрения математического описания, так и для построения и реализации кода.

Ошибки в каналах связи имеют  самое различное распределение, однако для выбора помехоустойчивого  кода целесообразно разделить все  возможные конфигурации ошибок на независимые (некоррелированные) и пакеты (коррелированные  ошибки). На практике приходится учитывать  качество интервалов между пакетами: они могут быть свободными от ошибок или же содержать случайные независимые  ошибки.

Под корреляционными подразумевают коды, обладающие хорошими корреляционными свойствами, важными при передаче сигналов вхождения в связь, для повышения защищенности от некоторых видов помех, извлечения сигналов из интенсивных шумов, обеспечения многостанционного доступа, построения асинхронно-адресных систем связи. Корреляционные коды включают в себя пары противоположных сигналов с хорошей функцией автокорреляции (метод внутриимпульсной модуляции), импульсно-интервальные коды, имеющие на фиксированном интервале времени постоянное для всех слов кода число импульсов с неперекрывающимися (при любом взаимном сдвиге слов во времени) значениями интервалов между импульсами, ансамбли сигналов с хорошими взаимокорреляционными свойствами.

Особый класс образуют частотно-компактные коды, предназначенные для сосредоточения энергии сигнала в возможно более узкой полосе частот. Столь общая постановка задачи понимается в различных системах связи по-разному: в проводных линиях и линейных трактах, содержащих полосно-ограничивающие фильтры с крутыми фронтами, необходимо основную энергию сигнала "отодвинуть" от крайних частот к центру полосы пропускания целью уменьшения межсимвольных искажений; в сетях радиосвязи с жесткими ограничениями по электромагнитной совместимости радиосредств от кода требуется значительно (на десятки децибел) уменьшить уровень внеполосных излучений. Построение кодирование и декодирование частотно-компактных кодов существенно зависят от метода модуляции.

Арифметические коды служат для борьбы с ошибками при выполнении арифметических операций в процессоре ЭВМ.

Далее рассматриваются два типа кодов: блоковые и древовидные. Определяющее различие между кодерами для кодов этих двух типов состоит в наличии или отсутствии памяти. Кодер для блокового кода является устройством без памяти, отображающим последовательности из k входных символов в последовательности из n выходных символов. Термин "без памяти" указывает, что каждый блок из n символов зависит только от соответствующего блока из k символов и не зависит от других блоков. Это не означает, что кодер не содержит элементов памяти. Важными параметрами блокового кода являются n, k, R=k/n и d_min. На практике значения k лежат между 3 и несколькими сотнями, a R= =1/4 ...7/8. Значения, лежащие вне этих пределов, являются возможными, но часто приводят к некоторым практическим трудностям. Входные и выходные последовательности обычно состоят из двоичных символов, но иногда могут состоять из элементов некоторого алфавита большего объема. Кодер для древовидного кода является устройством с памятью, в которое поступают наборы из m двоичных входных символов, а на выходе появляются наборы из n двоичных выходных символов. Каждый набор n выходных символов зависит от текущего входного набора и от v предыдущих входных символов. Таким образом, память кодера должна содержать v+m входных символов. Параметр v+m часто называют длиной кодового ограничения данного кода и обозначают k=v+m (не следует путать с параметром k для блокового кода). Отметим, что обозначения часто не согласуются друг с другом. Некоторые авторы называют длиной кодового ограничения параметр k, в то время как другие - параметр v. Здесь длиной кодового ограничения будем называть величину v, поскольку это приводит к меньшей путанице для кодов с m>1. Параметр k=v+m почти не будет использоваться. Древовидные коды характеризуются также скоростью R=m/n и свободным расстоянием d_св. Точное определение d_св более громоздко, чем определение d_min для блоковых кодов, однако параметр d_св, по существу, содержит ту же информацию о коде, что и d_min. Типичные значения параметров древовидных кодов таковы: m, n=1...8, R= 1/4... 7/8, v=2...60.

При другом подходе коды можно разделить  на линейные и нелинейные. Линейные коды образуют векторное пространство и обладают следующим важным свойством: два кодовых слова можно сложить, используя подходящее определение суммы, и получить третье кодовое слово. В случае обычных двоичных кодов эта операция является посимвольным сложением двух кодовых слов по модулю 2 (т. е. 1+1=0, 1+0=1, 0+0=0). Это свойство приводит к двум важным следствиям. Первое из них состоит в том, что линейность существенно упрощает процедуры кодирования и декодирования, позволяя выразить каждое кодовое слово в виде "линейной" комбинации небольшого числа выделенных кодовых слов, так называемых базисных векторов. Второе свойство состоит в том, что линейность существенно упрощает задачу вычисления параметров кода, поскольку расстояние между двумя кодовыми словами при этом эквивалентно расстоянию между кодовым словом, состоящим целиком из нулей, и некоторым другим кодовым словом. Таким образом, при вычислении параметров линейного кода достаточно рассмотреть, что происходит при передаче кодового слова, состоящего целиком из нулей. Вычисление параметров упрощается еще и потому, что расстояние Хемминга между данным кодовым словом и нулевым кодовым словом равно числу ненулевых элементов данного кодового слова. Это число часто называют весом Хемминга данного слова, и список, содержащий число кодовых слов каждого веса, можно использовать для вычисления характеристик кода с помощью аддитивной границы. Такой список называют спектром кода.

Линейные коды отличаются от нелинейных замкнутостью кодового множества относительно некоторого линейного оператора, например сложения или умножения слов кода, рассматриваемых как векторы пространства, состоящего из кодовых слов - векторов. Линейность кода упрощает его построение и реализацию. При большой длине практически могут быть использованы только линейные коды. Вместе с тем часто нелинейные коды обладают лучшими параметрами по сравнению с линейными. Для относительно коротких кодов сложность построения и реализации линейных и нелинейных кодов примерно одинакова.

Как линейные, так и нелинейные коды образуют обширные классы, содержащие много различных конкретных видов  помехоустойчивых кодов. Среди линейных блочных наибольшее значение имеют коды с одной проверкой на четность, M-коды (симплексные), ортогональные, биортогональные, Хэмминга, Боуза-Чоудхури-Хоквингема, Голея, квадратично-вычетные (KB), Рида-Соломона. К нелинейным относят коды с контрольной суммой, инверсные, Нордстрома-Робинсона (HP), с постоянным весом, перестановочные с повторением и без повторения символов (полные коды ортогональных таблиц, проективных групп, групп Матье и других групп перестановок).

Почти все  схемы кодирования, применяемые  на практике, основаны на линейных кодах. Двойные линейные блоковые коды часто  называют групповыми кодами, поскольку  кодовые слова образуют математическую структуру, называемую группой. Линейные древовидные коды обычно называют свёрточными кодами, поскольку операцию кодирования можно рассматривать как дискретную свертку входной последовательности с импульсным откликом кодера.

Наконец, коды можно разбить на коды, исправляющие случайные ошибки, и коды, исправляющие пакеты ошибок. В основном мы будем иметь дело с кодами, предназначенными для исправления случайных, или независимых, ошибок. Для исправления пакетов ошибок было создано много кодов, имеющих хорошие параметры. Однако при наличии пачек ошибок часто оказывается более выгодным использовать коды, исправляющие случайные ошибки, вместе с устройством перемежения восстановления. Такой подход включает в себя процедуру перемешивания порядка символов в закодированной последовательности перед передачей и восстановлением исходного порядка символов после приема с тем, чтобы рандомизировать ошибки, объединенные в пакеты. 

Практика КОДИРОВАНИЯ

Предположим, что все представляющие интерес данные могут быть представлены в виде двоичной (закодированной двоично) информации, т. е. в виде последовательности нулей и единиц. Задача формулируется  стандартно. Эта двоичная информация подлежит передаче по каналу, подверженному  случайным ошибкам. Задача кодирования  состоит в таком добавлении к  информационным символам дополнительных символов, чтобы на приемнике эти  искажения могли быть найдены  и исправлены. Иначе говоря, последовательность символов данных представляется в виде некоторой более длинной последовательности символов, избыточность которой достаточна для защиты данных.

Двоичный код мощности М и  длины n представляет собой множество  из М двоичных слов длины n, называемых кодовыми словами. Обычно М = 2^k, где k - некоторое целое число; такой код называется двоичным (n,k)-кодом.

Например, можно построить следующий  код: 10101 10010 01110 11111 Это очень бедный (и очень маленький) код с M = 4 и n=5, но он удовлетворяет приведенному выше определению. Данный код можно использовать для представления 2-битовых двоичных чисел, используя следующее (произвольное) соответствие: 
00<-> 10101, 01<-> 10010, 10<-> 01110, 11<-> lllll.  
Если получено одно из четырех 5-битовых кодовых слов, то полагаем, что соответствующие ему два бита являются правильной информацией. Если произошла ошибка, то мы получим 5-битовое слово, отличающееся от кодовых слов. Тогда попытаемся найти наиболее вероятно переданное слово и возьмем его в качестве оценки исходных двух битов информации. Например, если мы приняли 01100, то полагаем, что передавалось 01110, и, следовательно, информационное слово равнялось 10.