Аксиоматическое построение математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

На тему:

Аксиоматическое построение математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

1. Введение
2. Основная часть.

2.1 История аксиоматического  построения математики

2.2 Аксиомы планиметрии

2.3 Понятие аксиомы и  постулата.

      3. Список используемой  литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение Аксиома – первоначальное положение, которое принимается  без доказательств и позволяет  путем логических рассуждений, получать новые положения некоторой научной  теории. Все аксиомы, которые используются в некоторой теории, составляют её аксиоматику. Сила аксиоматического метода состоит в том, что он позволяет  из небольшого числа допущений построить  достаточно большую теорию. Если некоторый объект удовлетворяет системе аксиом, то он автоматически удовлетворяет всем полученным на её основе утверждениям. Последний факт позволяет применять результаты теории в разных областях знания, не требуя специальных доказательств. Основная часть 2.1 История аксиоматического  построения математики Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется  во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в  следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а  все остальные утверждения выводятся  логическим путём, опираясь на них. Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что  одно понятие должно разъясняться с  помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через  другие. Эти понятия и называются основными. Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце  концов, мы приходим к недосказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Выделив основные понятия  и сформулировав аксиомы, далее  мы выводим теоремы и другие понятия  логическим путём. В этом и заключается  логическое строение геометрии. Аксиомы  и основные понятия составляют основания  планиметрии. Так как нельзя дать единое определение основных понятий для  всех геометрий, то основные понятия  геометрии следует определить как  объекты любой природы, удовлетворяющие  аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим  из некоторой системы аксиом, или  аксиоматики. В этих аксиомах описываются  свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить  основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах. После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений  становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью  других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому  приписывается составление первого  систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки  назывались "Элементы".

Потом, в III в. до н.э., в Александрии  появилась книга Евклида с  тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что сочинения  предшественников Евклида до нас  не дошли, мы можем составить некоторое  мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные  с другими разделами. Появление  их объясняется только тем, что они  внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида.

"Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике и  несоизмеримых величинах, которые  можно построить с помощью  циркуля и линейки. Книги с  11 по 13 были посвящены стереометрии.

"Начала" начинаются с изложения  23 определений и 10 аксиом. Первые  пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют  действия с помощью идеальной  линейки, третий - с помощью идеального  циркуля. Четвёртый, "все прямые  углы равны между собой", является  излишним, так как его можно  вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: "Если прямая падает на две  прямые и образует внутренние  односторонние углы в сумме  меньше двух прямых, то, при неограниченном  продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны,  где углы меньше двух прямых".

 

2.2 Аксиомы планиметрии.

Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) — утверждение, в определённых рамках (теории, концепции, дисциплины) принимаемое истинным без доказательств, которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств.

Аксиомы принадлежности.

• Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
• Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы расположения.

• Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
• Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Аксиомы измерения.

• Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
• Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиомы откладывания.

• На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.
• От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.
• Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Аксиома параллельности.

• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

В аксиомах никогда не включаются логические цепочки, доказательства и  построения. Аксиомы - чистое описание тех фактов, существование которых  имеется основание считать эмпирически  доказанными, для чего имеются описание опыта и методика проведения этого  опыта, в котором это всегда подтверждается.

Поэтому в аксиомах (естественно, в  их описаниях) никогда не фигурируют абстракции, не имеющие прямого соответствия с какими-то свойствами мира. 
Поэтому в аксиомы не включаются понятия, зависящие от условий - границ абстракций, созданных человеком, в отличие от строгих терминов (см. подробнее ниже). Аксиомы не зависят от того, какими границами наделил абстракцию человек, но должны включать в себя область корректности их описаний. Так, законы Ньютона являются абстракциями, область корректного описания действительности которых - нерелятивистские скорости. Для каждого из значений взаимных скоростей существует возможность определить точность (погрешность) описания аксиомы.

 

2.3 Понятие аксиомы и постулата

Аксиома - это описание некоего закона действительности, в котором мы можем всегда убедиться эмпирически. Описание закона взаимодействия, описание свойств и условий развития закона. В аксиому нельзя безнаказанно включать такие абстракции как "силовая линия", "энергия", "истина", "красота", "объект" и т.п. Потому, что такая аксиома окажется зависимой не только от определения самой абстракции, но от того, какими границами мы ее наделяем.

Постулат можно было бы считать равноценным аксиоме, но на самом деле есть отличие: само слово означает, что это - утверждение, базовое утверждение для какой-то гипотезы. Это отличие - общепринятое обозначение тех утверждений, которые пока еще не очевидны эмпирически. Если на основе постулата строится непротиворечивая теория, описывающая свою абстракцию реальности, то есть основания попытаться найти такие условия в действительности, в которых этот постулат окажется равноценным аксиоме: т.е. можно будет доказать его объективную достоверность. Не раз случалось, что постулированное оказывалось неадекватным развиваемой теории, и от такого постулата отказывались.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников:

1. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Наука.
2. Смышляев В.К. О математике и математиках. - Йошкар-Ола: Наука.
3. Урок на тему "Введение в геометрию" Автор: Мацюк. М.А., г. Киев.
4. Лекции.