Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Февраля 2014 в 10:57, курсовая работа
Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.
Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными.
ВВЕДЕНИЕ 3
1Основные понятия и определения 4
2 Уравнения в полных дифференциалах 7
3 Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах 13
4.Интегрирующий множитель 22
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 28
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1Основные понятия и определени
2 Уравнения в полных дифференциа
3 Алгоритм решения уравнения в п
4.Интегрирующий множитель 22
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИК
Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.
Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. В данной работе рассмотрены уравнения в полных дифференциалах. Физический смысл этих уравнений в том, что они показывают элементарную работу в потенциальном силовом поле.
Данная работа несет реферативный характер.
Курсовая работа содержит 4 главы.
В первой описываются основные определения и утверждения, необходимые для изучения данного вопроса. Во второй главе рассмотрена и доказана теорема существования и единственности решения.
В третьей главе рассматривается алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах и примеры. В четвертой главе рассматривается интегрирующий множитель и примеры.
Определение1.1 Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку). Если существует предел отношения приращения функции Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) к вызвавшему его приращению аргумента Δx, когда Δx → 0, то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом f '(x0), т.е.
Определение 1.2 Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y).
Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x0, y0) D(у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).
Определение 1.3 Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде x0+) – f(x0)=A+o(, где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .
Определение 1.4 Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е. df(x0)=A
Определение 1.5 Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке P0(x0;y0), то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается =df(x0;y0)=(x0;y0) ∆x+(x0;y0) ∆y.
Определение 1.6 Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y(x,C1,C2,C3,...Cn), зависящее от n произвольных постоянных.
Определение 1.7 Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C1,C2,C3,...Cn) = 0.
Определение 1.8 Частный интеграл дифференциального уравнения — это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,...Cn.
Определение 1.9 Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределенного интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y=F(x)+C, где каждому C соответствует определенная кривая семейства.
Определение 1.10
Функция µ=µ(x,y)≠0 называется интегрирующим
множителем для уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,
если уравнение µ(x,y)P(x,y)dx+µ(x,y)Q(x,y)dy=
Теорема 1.1 Пусть функция F(u, х, у) дифференцируема в некоторой, окрестности точки M0(u0, х0, у0) пространства R, причем частная производная непрерывна в точке M0. Тогда, если в точке M0 функция F обращается в нуль, а частная производная не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа ε, найдется такая окрестность точки M0’(х0, у0) пространства R', что в пределах этой окрестности существует единственная функция u = φ(х, у), которая удовлетворяет условию | u - u0 | < ε и является решением уравнения F( х, у,u) = 0, причем эта функция u = φ(х, у) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки M0’.
Определение 2.1 Дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.
Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой
u(x, y)=C, где C − произвольная постоянная.
Теорема 2.1 Чтобы дифференциальное выражение
, где функции P и Q
определены и непрерывны в области D плоскости
XOY и имеют в ней непрерывные частные производные,
представляло полный дифференциал некоторой
функции u (х, у), необходимо и достаточно,
чтобы во всех точках области D было выполнено
условие
Доказательство.
Необходимость . Пусть существует функция u (х, у) такая, что выполняется равенство P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0Докажем, что тогда выполняется и равенство . По определению полного дифференциала
dy, но тогда из P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 следует, что
, Q(x,y)
Дифференцируем обе части этих равенств: , ,
следовательно
Поскольку смешанные
производные равны, необходимость доказана.
Достаточность. Пусть равенство выполняется. Надо доказать, что и P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 в этом случае справедливо, то есть выполняется соотношение dx + .
Таким образом, задача сводится к отысканию функции u (х, у), частные производные которой подчинялись бы равенствам и Q(x,y).
Найдём эту функцию. Проинтегрируем уравнение , записав решение в виде: U(x, y) = где (x0, y0) принадлежит D,
φ(y) - произвольная функция аргумента у, заменяющая произвольную постоянную, поскольку интегрирование произведено по х, в предположении, что у = c o n s t (то есть у сохраняет неизменное значение).
Определим функцию φ(y) так, чтобы удовлетворялось и равенство Q(x,y). Продифференцируем функцию U(x, y) =
по у: =.
Используя теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом и равенство Q(x,y), запишем: Q(x,y)=.
Применяя соотношение , получаем: .
Вычислим последний интеграл: –Q(x0, y),
а, значит, следовательно
Подставляя φ(y) в U(x, y) =, получаем окончательно:
U(x,y)=, c=const.
Теорема 2.3 Пусть в прямоугольнике M: a<x<b, c<y<d
Функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе с их частными производными
и , причем всюду в M выполняется условие и Q(x,y) не обращается в нуль. Тогда через каждую точку (x0,y0) прямоугольника M проходит одна и только одна интегральная линия уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.
Доказательство.
Как было только что указано, в прямоугольнике M существует функция z(x,y), полный дифференциал которой равен левой части P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.
Но так как Q0, то уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 можно
переписать в эквивалентом виде: P(x,y)+Q(x,y)y’=0 или с учетом
равенств , Q так: Поэтому функция
y(x) является решением уравнения P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 тогда
и только тогда, когда z(x,y(x))≡C
Этому уравнению, если C≠z(x0,y0), не может удовлетворять линия, проходящая через точку (x0,y0). Если же C=z(x0,y0), то из теоремы о неявной функции следует, что уравнение z(x,y(x))≡C определяет линию, проходящую через точку (x0,y0), и притом только одну. Теорема доказана.
Лемма 2.1 Всякая непрерывная на множестве функция f(x,y) равномерно непрерывна по x на [x0-, x0 +и по y на [y0-, y0 +.
Лемма 2.2 Если последовательность непрерывных на [функций yn(x) равномерно на [ сходится к функции y(x), то функция y(x) также непрерывна на [.
Лемма 2.3 Если функция f(x,y) равномерно непрерывна в G и последовательность {yn(x)} равномерно сходится к y(x) на , то последовательность f[x,yn(x)] равномерно сходится к f[x,y(x)] на [x0-, x0 +.
Лемма 2.4 Если функция f(x,y) равномерно непрерывна в G и (x)=y(x) равномерно на [x0-, x0 +, то
для x0, x [x0-, x0 +.
Теорема 2.4 Пусть функция f(x,y) непрерывна на множестве и удовлетворяет условию Липшица по y. Пусть М является верхней границей для на G, а . Тогда задача Коши y’=f(x, y), y(x0)=y0 имеет на отрезке [x0 -, x0 +] единственное решение.
Доказательство.
Прежде всего покажем, что задача
Коши эквивалентна интегральному уравнению y(x)=y0+
В самом деле, пусть дифференцируемая функция y(x) является решением интегрального уравнения y(x)=y0+ . Тогда, очевидно, y(x0)=y0. Дифференцируя y(x)=y0+ , получим .
Обратно, пусть y(x) является решением задачи Коши y’=f(x, y), y(x0)=y0 на [x0,x]. Интегрируя это тождество, получим, следовательно y(x)=y0+и y(x) является решением уравнения y(x)=y0+ .
Поставим своей целью определение интегральной кривой, выходящей из точки (x0, y0) и идущей в сторону возрастания x>x0. Для x<x0 рассуждения могут быть проведены аналогично.
Выбор естественен. Действительно, с одной стороны является необходимым требование . С другой стороны, требование обусловлено тем, что если y=y(x) есть решение задачи Коши на
[x0,x0+, то из условия следует, что |y(x)-y0 |(x-x0), а эта граница не превосходит b только при . x- x0
Применим метод
Предположим, что yk(x) определено на [x0, x0 +, непрерывно и удовлетворяет неравенству . |yk(x)-y0 | , k=0,1,..,n.
Положим yn+1(x)=y0+.
Так как функция f[x, yn(x)]определена и непрерывна на [x0, x0+], то же самое верно и для yn+1(x).
Ясно также, что .
Следовательно, все функции y1(x), y2(x),… определены и непрерывны на [x0, x0+] и |yi(x) – y0|.
Докажем по индукции, что
n=0,1,…, где L – постоянная Липшица для . Ясно, что (2.10) верно. Предположим, что верны соотношения (2.11), (2.12) ,…, (2.1n-1).
Из yn+1(x)=y0+ при n получим
Рассмотрим ряды
Sn+1(x)=y0+y1-y0+…+yn-yn-1=yn(
Итак, y(x) – решение задачи Коши на [x0, x0+].
Докажем его единственность. Пусть y=z(x) – какое-либо решение задачи Коши на [x0, x0+]. z(x)=y0+
Используя индукцию, докажем оценку
, x0
Из yn+1(x)=y0+ и z(x)=y0+ следует
Переходя в (2.2) к пределу при n, получаем
|y(x) - z(x) Теорема доказана.
Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y):
Информация о работе Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах