Аналитическая геометрия

   Контрольная работа.

Дисциплина  – “Аналитическая геометрия»

1. Найти координаты центра правильного шестиугольника, зная две его смежные вершины: A(2;0),  B(5; ). (4)

Решение.

         Пусть C(x;y) – центр правильного шестиугольника. Так как у правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности, то , подставляя координаты точки С, получим систему уравнений:

Ответ: С₁(8;0), С₂(-1;3√3).

2. Определите площадь параллелограмма, три вершины которого – точки A( ;3), B(4; ), С( ;1). (6)

                                             Решение.

Составим векторы: 
 
 
 
 
 

Ответ: 20 кв. ед.

3. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата и . Найдите его площадь. (4)

                                             Решение.

 
 
 
 
 

     Так как точки А и В лежат  на одной прямой ( сумма модулей  их вторых координат равна π) , то АВ=3 + 2 = 5.

     Значит

     Ответ:25 кв.ед.

4. Через середину отрезка AB, где A(4;0),  B(0;6), провести прямую, отсекающую на оси отрезок вдвое больший, чем на оси и написать ее уравнение. (6)

                                             Решение.

Найдем  координаты середины отрезка АВ: 

 

       
 
 
 
 
 
 
 
 

Назовем искомую  прямую СD. Ее уравнение в «отрезках» : 

где  a и b – отрезки, отсекаемые на координатных осях.

По условию  . 
 

1)

b=0 ( не удовл.); b=4; a=8  

2)

b=0 ( не удовл.); b=2( не удовл.); 
3)

b=0 ( не удовл.); b=2; a=-4;  

4)

b=0 ( не удовл.); b=4( не удовл.). 

Ответ:  

5. При каком значении прямые и взаимно перпендикулярны? (4)

 

                                             Решение. 
 
 
 
 
 
 
 

Ответ:

6. Даны координаты середин треугольника: A(1;2), B(7;4), С(3; ). Найдите уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника. (8)

 

Решение.

       

 

Пусть MNK – данный треугольник. AB, BC, AC – его средние линии, их уравнения ищем в виде: 

:      
 
 

 
:      
 
 

 
:      
 
 

 

Ответ:

7. Найти длины отрезков касательных, проведенных из точки  A(6;3) к окружности от этой точки до точек касания. (8)

                                           Решение  
 

 
 

Пусть B(x;y) – точка касания,

Т.к.

Радиус круга  ВС=1 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ответ: 7.

8. Найдите координаты точки эллипса , расстояние от которой до правого фокуса в 4 раза больше расстояния до левого фокуса. (6)

                                           Решение  

 
 

Преобразуем уравнение  эллипса: 

Полуоси

По условию:

Подставляя, получим:

                                  
 
 
 
 
 

Ответ:

9. Составить уравнение гиперболы, зная её фокусы и расстояние между вершинами, равное 16. (6)

                                           Решение

Изобразим данные задачи на чертеже: 
 
 
 
 
 

                                        

 

Оси симметрии  гиперболы 

Значит вершины гиперболы лежат в точках:

так как

Сделаем параллельный перенос осей координат: 
 
 

Уравнение гиперболы: 

.к.  
 
 
 

Ответ:

10. Найти фокус и директрису кривой, заданной параметрически . (6)

                                           Решение

Преобразуем уравнение: 

Откуда 

Уравнение директрисы 

Координаты  фокуса параболы:

Ответ: