Анықталған және анықталмаған интеграл

С.Ж.АСФЕНДИЯРОВ  АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ МЕДИЦИНА УНИВЕРСИТЕТІ		КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ  С.Д.АСФЕНДИЯРОВА

 

 

 

 

 

 

 

 

   

    СӨЖ

Тақырыбы: Анықталған және анықталмаған интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

             Орындаған:

             Тобы:

             Тексерген:

 

 

 

                                           Анықталмаған интеграл.

                       Алғашқы  функция. Анықталмаған  интеграл.

 

 Дифференциалдық  есептеуде  мәселе  берілген  функцияның туындысын немесе  дифференциалын табу және олардың   көмегімен функциялардың  өзгерісін  зерттеу болады. Ал интегралдық  есептеуде мәселе керісінше қойылады: берілген функцияның туындысы  немесе дифференциалы бойынша  функцияның өзін табу .

 Демек  дифференциалдау және интегралдау  бір- біріне кері амалдар болып  табылады. Үздіксіз    функциясы берілсін. Белгісіз функцияның туындысы  -қа тең болсын,- яғни   

(6.1) теңдікті  қанағаттандыратын F(x) функцияны  функцияның алғашқы функциясы деп атайды.

Теорема . Егер  F(x) функциясы , функцияның  алғашқы функциясы болса, онда F(х)+C да (С- тұрақты сан ) алғашқы функция болып табылады, және керісінше, әрбір алғашқы функция F(х)+C түрде сипатталанады.

Туындының қасиеттері арқылы табамыз: 

Айталық  Ф(х) мына  функция үшін кезкелген алғашқы функция болсын, онда   

Сондықтан  

Осы  F(х)+C    (С-тұрақты сан) өрнекті  функцияның анықталмаған интегралы деп атайды және оны былай белгілейді

Мұндағы - интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек. Алғашқы функцияны табу амалы функциясын интегралдау деп аталады. Ендеше, интегралдау амалының дұрыс орындалғандығын тексеру үшін алғашқы функцияны дифференциалдап, интеграл астындағы функцияны алсақ болғаны.

Мысалы , ,  өйткені .

Екінші мысал:  бұл функцияның анықталмаған интегралы .

Тексеру :     .[kgl]

                        Анықталмаған интегралдардың қасиеттері.

Анықталмаған  интегралдар төмендегі қасиеттерге  сүйенеді.

1. Анықталмаған  интегралдан алынған туынды, интеграл  астындағы функцияға тең:  

2. Анықталмаған  интегралдан алынған дифференциал  интеграл астындағы өрнекке тең: 

3. Функция  диффренциалынан алынған анықталмаған  интеграл, осы функцияның өзімен  тұратын санның қосындысына тең,  яғни 

Өйткені

4. Тұрақты  санды интеграл таңбасының сыртына  шығаруға болады: 

5. Саны шектеулі  функциялардың алгебралық қосындысынан  алынған интеграл сол функциялардың  әрқайсының  интегралдарының алгебралық  қосындысына тең, яғни   [kgl]     

                 Анықталмаған интегралдардың негізгі  кестесі.

 

Дифференциалдық есептеудің негізгі формулаларын пайдаланып, келесі интегралдар кестесін бірден жазуға болады:

1. ≠  -1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

 

10.

11.

12.

13.

14.

 

Мысалдар:

1.

 

 

Келтірілген есептердің дұрыстығын тексеру үшін, алғашқы функциясынан туынды алу  қажет.

 Мысал  үшін екінші есепті  алайық:  

Анықталмаған  интегралды есептегенде келесі ережелердің  қажеттігі бар болады.

Егер 

1.

2.

3.

Шынында да

Мысалдар:

1.

2.

3. [kgl]

 

 

                         [gl]§4. Интегралдаудың негізгі тәсілдері.[:]

 

1. Айнымалы ауыстыру тәсілі . Егер  деп алсақ, онда және 

 Осы шыққан  формуланы  интегралдағы айнымалыны  ауыстыру формуласы дейді.

Мысалдар: 1. . Айнымалы х-ті былай ауыстырайық: бұл арадан онда 

 

Функциялардың туындылар кестесі және дифференциалдау  ережесі. Туындылар кестесі.[:]

1.   у= с,    с- тұрақты сан,     

2.  - кез келген нақты сан, мысалы

16.

17.

18. 

19. 

20.   

21.  

22.  

23.  

24.  

25.   

 

 Дифференциалдау ережелері .

Айталық u=u(x) ,   v=v(x)  онда:

1.

2. 

3. 

4.  [kgl]

Функциялардың туындылар кестесі және дифференциалдау  ережесі. Туындылар кестесі.[:]

1.   у= с,    с- тұрақты сан,     

2.  - кез келген нақты сан, мысалы

16.

17.

18. 

19. 

20.   

21.  

22.  

23.  

24.  

25.   

 

 Дифференциалдау ережелері .

Айталық u=u(x) ,   v=v(x)  онда:

1.

2. 

3. 

4.  [kgl]

 

 

2. . Айнымалы х-ті былай ауыстырайық:  онда

 

2. Бөліктеп  интегралдау. Бұл тәсіл екі функцияның көбейтіндісін дифференциалдаудан келіп шығады. Айталық және v(x) үздіксіз дифференциалданатын функциялары болсын. Онда осыдан Осы теңдіктің екі жағын интегралдап, келесі теңдікке келеміз:

Бұл формуланы  бөліктеп интегралдау деп атайды.

Мысалдар. 1 бұл интегралды есептеу үшін бөліктеп интегралдаймыз:

(6.4) формула бойынша

2. мұнда Енді (6.4) формуланы пайдаланып: [kgl