Анықталмаған интеграл

                                 Анықталмаған интеграл

     Анықталмаған интеграл  анықтамасы  
f(x) = 2cos2x функциясының ∆ = (-∞, +∞) аралығындағы 
Егер f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғашқы функциясы F(x) болса, 
Екінші жағынан, егер f(x) функциясының ∆ аралығындағы алғашқы 
Анықтама. f функциясының ∆ аралығындағы барлық алғашқы 
Егер, f(x) функциясының қандай да бір алғашқы функциясы F(x) 
∫ f(x)dx = F(x) + C, C R   

  Әрине, анықтама бойынша ∫ f(x)dx ={F(x) + C} 

Ескерту. ∫ f(x)dx символы f функциясының алғашқы функцияларының 
Интеграл астындағы f функциясының dx дифференциалына көбейтіліп жазылуынан 
∫ x2 zdx = x3z/3 + C,  
Оның басқа да ыңғайлы жақтары (интегралда айнымалы ауыстыру және 
f(x) функциясының алғашқы функциясын табу амалын f(x) функциясын 
Жоғарыда, егер f(x) үшін ∆ аралығында алғашқы функция бар 
Кейінірек, егер f(x) функциясы (a,b) аралығында үзіліссіз немесе монотонды 

Анықталмаған интегралдың қасиеттері  
Анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырайық.  
Егер f(x) функциясының алғашқы функциясы F(x) болса, онда интеграл 
∫ f(x)dx = Fꞌ(x)dx = dF(x)  
алғашқы F(x) функциясының дифференциалы. Сондықтан, (1) теңдікті келесі түрде 
∫ dF(x) = F(x) + C;  
А) A* f(x)dx = A∫ f(x)dx + C, A 
Б) ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + 
Соңғы (Б) теңдік интегралдың аддитивтілік қасиеті деп аталады.  
Мысалы, (Б) қасиетін көрсетейік.  
[Ф1(х)]ꞌ = (∫f(x)dx+ ∫g(x)dx)ꞌ = (∫f(x)dx)ꞌ + (∫g(x)dx)ꞌ= /анықтама 
= f(x) + g(x);  
[Ф2(x)]ꞌ = (∫[f(x)+g(x)]dx)ꞌ = /анықтама бойынша/ = f(x) + 
Сонымен Ф1(х) және Ф2(х) функциялары f(x) + g(x) 
Ф1(х) - Ф2(х) = ∫[f(x)+g(x)]dx) - (∫f(x)dx + ∫g(x)dx) 
Яғни (Б) теңдік орындалады. (А) теңдігі де осылай дәлелденеді.  
Егер f(x) функциясының алғашқы функциясы F(x) болса, онда f(ax+b) 
∫ f(ax+b)dx = 1/а Ғ(ax+b) + C.  
Дифференциалдау формуласынан шығатын интегралдар кестесін келтірейік (теңдіктер бөлшектің бөліміндегі 
∫0 dx=C  
∫ xa dx=xα+1/α+1+C, Vα≠-1.  
∫ x-1 dx=∫ dx/x=In|x|+C, Vx≠0.  
∫ ax dx= ax /Ina+C, a›0, a≠1. Дербес 
∫ sin xdx=cos x+C, ∫ cos xdx=sin x+C.  
∫ dx/cos2 x=tg x+C; ∫ dx/ sin2 x= 
∫ sh xdx=ch x, ∫ ch xdx=sh x+C, 
∫ dx/ch2x=th x+C; ∫ dx/sh2x=cth x+C.  
∫ dx/x2+a2=1/a arctg x/a+C.  
∫ dx/x2-a2=1/aIn |x-a/x+a|+C, |x|≠|a|  
∫ dx/ √a2-x2= arcsin x/a+C, |x|‹|a|  
∫ dx/ √x2-a=In|x+√x2+a|+C, x2+a›0, a≠0.  
∫ dx/sin x=In|tg x/2|+C.  
∫ dx/cos x=In|tg (x/2+π/4)|+C.  
Бұл теңдіктердің дұрыстығын дифференциалдау арқылы тексеруге болады. Мысалы, 3) 
x≠0 үшін, |x|=x*sign x теңдігінен |x|ꞌ=(x*sign x)ꞌ=sign x аламыз. 
Енді 12) формуланы дәлелдейік.  
(In|x+√x2+a|+C)ꞌ=1/|x+√x2+a|*|x+√x2+a|ꞌ=1/|x+√x2+a|*sign (x+√x2+a)*(x+√x2+a)ꞌ=1/|x+√x2+a|*sign (x+√x2+a)*(1*x+√x2+a)= sign (x+√ x2+a)/(x+ √x2+a)*x+√x2+a/√x2+a=1/√x2+a.▲  
Элементар функциялардың туындылары элементар функциялар болатыны белгілі. Ал элементар 
Мысалы, келесі интеграл астындағы фунциялардың элементар функциялар еместігін дәлелденген:  
∫e-x2dx – Пуассон интегралы;  
∫cosx2dx, ∫sinx2dx – Френель интегралы;  
∫dx/lnx – интегралдық логарифм;  
∫(cosx/x)dx – интегралдық косинус;  
∫(sinx/x)dx – интегралдық синус;  
∫(ex/x)dx, ∫dx/√1+x3 т.с.с. Анықталмаған интеграл анықтамасы  
f(x) = 2cos2x функциясының ∆ = (-∞, +∞) аралығындағы