Архитектура и математика

Простейшей и древнейшей архитектурной конструкцией является стоечно-балочная система (Рис 2). Ее прототипом был дольмен — культовое сооружение, состоящее из двух вертикально поставленных камней, на которые наши предки водрузили третий горизонтальный камень. Назначение дольмена до конца не выяснено. Но ясно одно: дольмен — это гимн человека о преодолении силы тяжести, это вступление к грандиозной архитектурной симфонии будущего. Со временем дольмен перерос в кромлех — сооружение, служившее, по всей видимости, для жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из огромных отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями и образовывали одну или несколько концентрических окружностей. Самый значительный и загадочный кромлех сохранился в местечке Стонхендж (Англия) и относится к XX—XVII векам до н. э. Есть основания считать, что он был и древней астрономической обсерваторией.

Родившись в Месопотамии  и Персии, также славилась арочно-сводчатая конструкция, которая была доведена римлянами до совершенства и стала основой древнеримской архитектуры. Арочно-сводчатая конструкция позволяла римлянам возводить гигантские сооружения. Это амфитеатр Флавиев самое высокое (48 м) из сохранившихся сооружений Рима, вмещавшее 56 тысяч зрителей. Три яруса арок Колизея являются необходимым элементом его конструкции и весомой частью его архитектурной формы. Римские формы имели цилиндрические и крестовые своды высоты, были пышно украшены мозаикой, скульптурой, росписями залы для омовения, массажа, сухого метения, гимнастических упражнений и даже библиотеки и походили скорее на дворцы. Это система арочных сводов акведуков которые стали частью римского пейзажа. И наконец, вершина древнеримского нового искусства — Пантеон — храм богов. Пантеон не вершина научных и технических насаждений древнеримских строителей, шедевр архитектурного искусства.

Римские арки, своды и  купола были неизменно полуциркульными. Рим пал, растоптанный варварами, а вместе с Римом пало и рабовладение. Средневековые мастера уже не могли себе позволить гасить огромные распоры от полуциркульных сводов семиметровыми стенами. Камень был дорог, да и каменотесам нужно было платить. Благо, вместе с пленниками-сарацинами крестоносцы привезли в Европу секреты возведения стрельчатых арок. Так новая конструкция породила новую архитектуру — готику.

Стрельчатая арка (Рис 3) по сравнению с полуциркульной является более совершенной конструкцией: она вызывает меньший боковой распор, а следовательно, и меньший расход камня. Очевидно, также, что стрельчатая арка имеет более сложную геометрическую форму по сравнению с полуциркульной, которая строится одним движением циркуля. Таким образом, на примере трех конструкций — стоечно-балочной, арочной и стрельчатой — мы видим, что по мере совершенствования конструкции усложняется и ее геометрия. Современная архитектура подтверждает эту закономерность.

Стрельчатая арка привнесла в готическую архитектуру (Рис 4) два конструктивных новшества. Во-первых, стрельчатые своды стали выполнять на нервюрах — каменных ребрах, несущих независимые друг от друга части свода — распалубки. Нервюры служат как бы скелетом свода, они воспринимают на себя основную нагрузку. В результате конструкция свода становится более гибкой: она может выдерживать те деформации, которые для монолитного свода окажутся губительными. Таким образом, нервюры явились прототипом современной каркасной конструкции.

 Стрельчатая арка образуется пересечением двух частей окружностей (здесь мы, конечно, говорим об эскизе стрельчатой арки). На рисунке показана стрельчатая арка, в которую вписана окружность и две равные полуокружности (Рис 5).

  Измерив ширину арки, мы сможем найти не только радиус большой окружности, но и длину отрезка OD, который входит в центральную часть фасада. Обозначим радиус большой окружности через х. Тогда ОО₂= х + 5; DO₂ = 5; OB - 20 - х; DB = 10. Дважды воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников 0DO₂ и ODB, составим уравнение (х + 5)² – 5² = (20 - х)² – 10². Откуда х = 6 (м) и 0О₂ = 6 + 5 = 11 м. А длина общего катета OD этих треугольников равна: OD= .

Мы вновь пришли к иррациональному результату.

Красивые арки разнообразных форм были широко распространены не только в Европе, но и странах Среднего и Ближнего Востока. Заимствуя научные знания и технические достижения эллинистического мира, арабоязычные ученые создали и свои архитектурные традиции. Науку и архитектуру они развили настолько оригинально, что придали той и другой новое лицо, новый блеск.

Невозможно описать все многообразие геометрических приемов, которыми владели  среднеазиатские зодчие. Рассмотрение лишь некоторых способов применения математики для создания гармоничных архитектурных зависимостей заставляет удивляться и восхищаться мастерством и талантом древних зодчих. Они открывают новые формы арок, среди которых особый интерес представляет подковообразная (Рис 6)

  Для построения такой арки соединяют верхние концы проема точки А и В. Далее делят полученный отрезок точками О₁, О₂, О₃ на четыре равные части.

Из точек О₁, и О₃ как из центров проводят окружности радиусом О₁А . Их общая касательная МN перпендикулярна отрезку АВ.

От луча O₃B откладывают угол BO₃C, равный 60°, и продолжают прямую О₃С до пересечения с прямой MN в точке O₄.

Из точек О₁, и О₃ проводят две малые окружности радиусом О₁А, а из точки О₄, — большую окружность радиусом О₄В, которая пересекает малые окружности в точках D и D .

Линия ADD^/В составляет подковообразную арку, которая завершает проем. 
И в этой арке скрыта иррациональность.

 

3. «Геометрия православного храма»

 

Русская красота. Русская духовность. Когда мы слышим эти слова, перед глазами возникают образы куполов православного храма, слышится колокольный звон, призывающий к вере, единству, добру, жертвенности и стойкости.

Православный храм, символизирующий землю, с куполом — символом неба — осмысляется как модель мироздания, которое согласно религиозным воззрениям — творение Божие. К небу, Богу верующий устремляет свои мысли. Поэтому «луковичная» форма купола выбрана неслучайно. Она напоминает заостряющееся кверху пламя, горящую свечу, которую зажигают во время обращенной к Богу молитвы. Такая форма купола символизирует духовный подъем и стремление к совершенству. Когда верующие выходят из храма и видят настоящий небесный свод, они понимают, что высшее благо на земле еще не достигнуто. Для его воплощения нужны новый подъем, и новое духовное горение.

Конечно, люди нерелигиозные могут  не согласиться с описанной трактовкой формы куполов. Прагматики скажут, что  «луковичная» форма служит тому, чтобы  на куполе не залеживался снег, не задерживалась влага. По-своему они правы, поскольку красота и духовность всегда идут рука об руку с целесообразностью. Именно это сочетание и рождает гармонию. Но если человек видит только целесообразность и не хочет замечать духовности, то противоречить ему нет смысла. Нельзя объяснить слепому, что такое пламя, если от него он чувствует только ожог. Конечно, можно было бы заметить, что кроме «луковичного» купола архитектура знает немало других способов помешать влаге скапливаться на крыше здания. Но в архитектуре храма есть что-то еще, что выше житейских забот о сохранности строения.

Попытаемся приблизиться к возвышенному с помощью геометрии.

 

4. Геометрия купола

 

Я проводил построения эскиза «луковичного» купола. Существуют разные виды куполов. Самый простой эскиз купола строится таким образом: В квадрате ABCD отмечаются середины Е, F, К его сторон AD, DC и CB соответственно. (Рис 7)

Из точек А, В, С, D как из центров проводят дуги радиусом, который составляет половину стороны квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают двое из дуг в точках М и N как построено на рисунке.

Для построения более сложных эскизов вспомним о золотой пропорции, которая была обозначена через Ф, установив, что

Ф = = 1,6.  Допустим: АВ: О,С 1,6. Как построить отрезки АВ и O₁C? Прежде всего выберем единицу измерения – отрезок е. Затем выполним преобразования АВ: 0₁С = 1,6 = 16 : 10 = 8 : 5. Это значит, что АВ = 8е, а О₁С= 5е. Представим себе, что нам следует построить равнобедренный треугольник АВС, у которого основание АВ и высота 0₁С составляют золотую пропорцию (рис 8). Тогда мы строим отрезок АВ= 8е, делим его пополам точкой О₁ и проводим перпендикуляр к АВ через точку О₁, на которой откладываем отрезок О₁С = 5е. Треугольник АСВ послужит основой для нового эскиза купола православной церкви.

 

План построения.

1. Проведем перпендикуляр О₁К к стороне ВС.

2. На высоте СО₁ отметим точку М так, чтобы СМ = О₁В, и через точку М проведем прямую, перпендикулярную прямой СО_1, которая пересекает отрезок O₁K в точке О₂.

3. Проведем окружность с центром в точке О₂ и радиусом О₂К.

4. Разделим отрезок О₁В точкой S через нее проведем прямую SP, перпендикулярную АВ. Она пересекает построенную окружность в точке L, через которую проведем прямую, параллельную АВ. В пересечении с осью СО получится точка Е. (рис 9)

5. На прямой СЕ от точки С отложим отрезок CG= 2e. Из точки О₁ как из центра проведем окружность, радиусом 0₁G, которая пересечет предыдущую окружность в точке N, и окружность радиусом О₁К, пересекающую высоту СО₁ в точке F

6. Через точки E и N проведем прямую. Из точки С как из центра проведем окружность радиусом EF, которая пересечет прямую EN В точке О₃.                                                                                        

7. Затем из О₃ проведем дугу радиусом 0₃N до ее пересечения с точкой С.                                                                                                   

Линия, составленная из двух построенных  дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии относительно оси СО₁ (рис. 10).

Это наглядный пример построения «луковичного»  купола в селе Сизая (Церковь Святой Евдокии)

 

Заключение: Я  думаю, что  эта работа является мини-пособием для изучения применения геометрии в архитектуре. Возможно, не все подробно, но в проекте затронуты все опорно-полагающие аспекты. Секрет того могучего эмоционального воздействия, которые эти знания оказывают на зрителя, многие искусствоведы искали и находили в практическом применении геометрии.                               

Приложение

 

 

          Рис  1

 

 

 

 

 

 

 Рис 2

 

 

                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 3

 

 

 

 

 

 

 Рис 4

 

 

 Рис 5

 

 

 

 

 

 

 Рис 6

 

 Рис 7

 

 рис 8

 

 рис 9

рис 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     4. Список использованной литературы:

1.    Аркин Д.Е. Должность архитектурной экспедиции. В кн.: Архитекурный архив. М., 1946.
2.   Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии // Математика в школе. 1998. №7.
3.   Васютинский Н. Золотая пропорция. М.,1992
4. Дмитриева Н. А. “Краткая история искусств”     1974
5. Пидоу Д. Геометрия и искусство. М.,1979
6. Пилявский В.И. История Русской архитектуры. Л., 1984.
7. Михайловский К.  “Пирамиды и масштабы” Варшава 1973г
8. София Киевская (фотоальбом) – Киев, 1984.