Автономные системы и фазовые пространства

2) существует  число Т>0  такое, что при любом t имеет место равенство

φ_i(t+T)=φ_i(t), i=,

но при 0 <|t₁-t₂|<T хотя бы для одного I, i=, имеет место неравенство φ_i(t₁)≠ φ_i(t₂).

В случае 2) решение x_i=φ_i(t), i=, системы (4) называется периодической, а его траектория – замкнутой траекторией или циклом.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и для определенности t₁< t₂. В силу леммы 2 при C = t₁ - t₂ имеем

φi(t)=φi(t+C), i=,

(8)

Функции x_i=φ_i(t+C), i=, являются решением системы (4) при r₁ - C< t< r₂ - C, и, кроме того, в силу равенства (8), решения                                            φ_i(t) и  φ_i(t+C) совпадают на общей части их областей определения, т.е. при r₁ - C< t< r₂ - C. Значит, решение

x_i=ψ_i(t)=

является   продолжением решения x_i=φ_i(t), i=, на  интервалe       (r₁ - C, r₂ ). Последовательно повторяя описанную процедуру, получим продолжение решения x_i=φ_i(t), i=, определенное на интервале (- ∞,r₂). На основании равенства φ_i(t)=φ_i( t-C), i= аналогично найдем продолжение решения x_i=φ_i(t), i= с интервала (- ∞,r₂) на всю числовую прямую - ∞ < t < + ∞. Таким образом, решение x_i=φ_i(t), i= можно считать определенным при всех t R и из самого способа продолжения следует, что постоянная   C= >0 является периодом этого решения. Пусть F - множество периодов решения x_i=φ_i(t), i=. Могут представиться две возможности: а) F содержит сколь угодно малые положительные числа; б) в F существует наименьшее положительное число.

В случае а) найдется бесконечно малая последовательность положительных  периодов C_n, т.е. C_n>0 и C_n 0 при n +∞. Пусть t – произвольная фиксированная точка из R. Рассмотрим последовательность дробных частей чисел t/C_n:

 

a_n= - = – α_n,

 

где α_n = – целая часть числа, которая ограничена, и поэтому . Числа α_nC_n будучи целыми кратными периодов C_n, сами также являются периодами решения φ_i(t), i=. Тoгда 43

φ_i(t)= φ_i(t- α_nC_n).

Переходя здесь к пределу  при n +∞, получим

  φ_i(t)==φ_i(₎₌ φ_i(₎₌ φ_i(0).

Следовательно, в случае а) решение x_i=φ_i(t), является положением равновесия. В случае б) при любом t ϵ R имеет место равенство

φ_i(t+T)= φ_i(t), i=.

Покажем, что φ_i(t₁)≠φ_i(t₂) при всех t₁ и t₂, удовлетворяющих неравенству 0 < |t₁-t₂|<T, и при некоторoм i, i=. Допустим противное, т.е. существуют t₁ и t₂ такие, что 0 < |t₁-t₂|<T и при всех i=: φ_i(t)= φ_i(t+C), где С=t₁-t₂ >0. В силу леммы 2, φ_i(t)= φ_i(t+C), где С=t₁-t₂ >0. Значит, С=t₁-t₂ служит положительным периодом решения φ_i(t), i= и С<T, а это противоречит условию, что Т- наименьший положительный период решения φ_i(t), i=.

Из доказанной теоремы 1 вытекает следующее

Следствие 2. Траектория любого непродолжаемого решения автономной системы (4) может быть либо положением равновесия, либо замкнутой траекторией, либо траекторией без самопересечений.

 

§3. Предельное поведение траекторий. Предельные циклы.

Рассмотрим определенное решения x_i=φ_i(t), i=, или в векторной форме x=φ(t)  системы (4) и соответствущую ему тректорию l в фазовом пространстве D.

Точка =() ϵ D называется предельной точкой решения x=φ(t)  (или траектории l) при t+∞, если существует последовательность t+∞,, для которых φ(t_n) . Совокупность всех таких точек называется предельным множеством при t+∞, для данного решения. Аналогично определяются понятия α– предельной точки и α – предельного множества при t-∞.  (Предельные точки, множества при t+∞ и при t-∞ называют также соответственно ω – предельными и α – предельными точками, множествами решения x=φ(t)   системы (4)).

Приведем примеры.

1.Пусть при t+∞,  траектория l по спирали приближается к циклу . Тогда этот цикл и является предельным множеством для l при t+∞. Действительно, выбирая любую точку ϵ , посторим точки a₁=x(t₁), a₂=x(t₂), a₃=x(t₃), …  так, как показaно на рис.1 , последовательность котрых сходится к точке

Рис.1

Если цикл является предельным множеством при t+∞  или t-∞ для отличной от него траектории, то он называется предельным циклом, т.е. предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при t+∞ или при t-∞  .

Предельный цикл называется устойчивым, если все траектории (как внешние, так и внутренние) приближаются к нему только при t+∞, неустойчивым – если только при t+∞,   полуустойчивым – если только с одной стороны цикла траектории приближаются к нему при t+∞,   а с другой стороны при t-∞  или наоборот.

2. Tочка покоя системы (4) является своей едиснтвенной предельной точкой как при t+∞, так и при t-∞. Замкнутая траектория является своим собственным предельным множеством.

3. Для траектории x= ( x R¹) множество предельных точек при t+∞,   состоит из единственной точки x=0. Для траектории x₁=ρ, x₁=ρ , ρ=const>0, множество предельных точек при t- ∞ есть точка x₁=x₂=0, а множество предельныx точек при t+∞, есть окружность x₁²+x₂²=ρ².

Рассмотрим свойства предельных множеств, причем для определенности при t+∞.

Лемма 5. Предельное множество траектории замкнуто.

Доказательство. Пусть – предельное множество траектории l, заданной решением x=φ(t) . Пусть – произвольная предельная точка . Тогда существует последовательность такая, что при k. По определению предельного множества для любого k найдется последовательность t_kn ∞, для которой x (t_kn) при n. Выберем t_k   так, чтобы t_k>k и расстояние ρ(x(t_k),)< . Тогда при t_k +∞ (k)имеем

ρ(x(t_k),) ρ(x(t_k),) + ρ()< + ρ()

 a это означает, что есть предельная точка l при t+∞, т.е ϵ .

Лемма 6. Предельное множество состоит из целых траекторий, т.е. это означает, что если , то и вся траектория l с начальной точкой целиком принадлежит .

Доказательствo. Пусть исходная траектория l определена решением x=φ(t,t₀,x₀). Тогда φ(t_n,t₀,x₀) при 432 и при любом фиксированном t на основании леммы 3

φ(t_n+t, t₀, x₀) = φ(t₀, t₀, φ(t₀+ t_n,t₀,x₀))

φ(t_n, t₀, x₀),

 т.е φ(t_n,t₀,x₀) .

Лемма 7. Для того чтобы предельное множество было пустым, необходимо и достаточно, чтобы траектория, определенная решением x=φ(t), «уходила в бесконечность», т.е.

i²(t) при t

Дoказательство. Если условие (9) не выполнено, то найдется шар B: d² в Rⁿ, внутри которого траектория решения x=φ(t) содержит точки при как угодно больших t. Тогда существует последовательность t_{k, для которой} φ(t_k) B. Выделяя из этой ограниченной последовательности сходящуюся подпоследовательность, найдем при t предельную точку решения x=φ(t).

Лемма 8. Для того, чтобы предельное множество состояло из одной точки , необходимо и достаточно, чтобы траектория l решения x=φ(t)   входила в точку при , т.е. при .

Действительно, достаточность очевидна. Пусть   – единственная предельная точка траектории l. Зададим произвольное  >0 и надо показать, что для всех достаточно больших t расстояние ρ(x(t),)<. Допустим противное. Тогда существует последовательность t_{k и ρ}(x(t_k),). По определению предельной точки   найдется последовательность t_{k, для которой}  ρ(x(t_k),). Из этих рассуждений в силу непрерывности функции φ(t) следует, что существует новая последовательность и ρ(x(t),) = . Выделяя из ограниченной последовательности x(t_k) сходящуюся подпоследовательность, при получим новую предельную точку , для которой ρ(,)=. Следовательно, кроме , имеется еще, по крайней мере, одна предельная точка траектории l.

Оказывается, когда размерность фазового пространства n=2, то о предельном поведении траекторий на фазовой плоскости можно установить больше интересных фактов, чем в случае n>2. Это установили математики А. Пуанкаре и И. Бендиксон. Здесь приведем несколько утверждений, принадлежащих им.

В качественной теории дифференциальных уравнений важную роль играют признаки, которые позволяют выделить области  на фазовой плоскости, где содержатся или отсутствуют предельные циклы.

Утверждение 1. Внутри области G, ограниченной замкнутой траекторией системы (4) (n=2) и целиком лежащей на фазовой плоскости, существует по крайней мере одна особая точка.

Отсюда, в частности, следует, что если в некоторой области  фазового плоскости нет особой точки  системы (4), то в этой области нет  и замкнутых траекторий.

Утверждение 2. Пусть G- ограниченная замкнутая область, лежащая на плоскости системы (4) и не содержащая ее особых точек. Если траектория l решения x=φ(t) системы (4) при n=2 в начальный момент времени t=t₀ выходит их точки, лежащей в области G, и остается в G при всех t₀, то траектория l либо сама является замкнутой, либо с течением времени она по спирали наматывается на замкнутую траекторию.

Коротко это утверждение  можно сформулировать так: ограниченное предельное множество траектории l, не содержащее особых точек, состоит из замкнутой траектории.

Из утверждений 1 и 2 вытекает следующий принцип кольцевой области: пусть на фазовой плоскости системы (4) построена кольцевая область G, через границы которой все интегральные кривые при t₀ входят в нее или одновременно все выходят из G, тогда если эта G не содержит особых точек, то внутри G содержится предельный цикл.

Внутренняя граница кольца может вырождаться в особую точку.

Эти геометрические признаки весьма трудны при практическом применении, так как не указаны правила  построения нужных кольцевых областей. Наиболее употребляемый прием –  это рассмотрение семейства замкнутых  дифференцируемых непересекающихся кривых F(x,y)=C=const. Такое семействo называют топографической системой. В качестве такой системы рассмотрим семейство концентрических окружностей: x²+y²=C². Производная от функции F(x,y)= x²+y² в силу данной системы

=P(x,y),  =Q(x,y)

(10)

 

Имеет вид 

=2x+2y=2(xP+yQ)

(11)

Отсюда вытекает

Утверждение 3. Если существуют такие две постоянные r₀ и r₁,       r₀ <r₁ что для x²+y²=r₀² выражение xP+yQ, а для x²+y²=r₁² выражение xP+yQ и в кольце G между окружностями r=r₀ и r=r₁ нет особых точек системы (10), то в G содержится устойчивый предельный цикл; если знаки xP+yQ обратны указанным, то в кольце G имеется неустойчивый предельный цикл.

В самом деле, равенство (11) в первом случае показывает, что  через круги x²+y²=r₀² и x²+y²=r₁² интегральные кривые системы (10) не могут выходить из кольцевой области G при росте параметра t, а во втором случае  при уменьшении параметра t.

Утверждение 4. Если в односвязной замкнутой области фазовой плоскости выражение P_x+Q_y  сохраняет знак и не тождественно обращается в нуль, то в этой области система (10) не имеет замкнутых траекторий.

Доказательство. Пусть G – односвязная замкнутая область на фазовой плоскости, граница Г которой целиком состоит из траекторий системы (10). Тогда по формуле Грина

=0,

Но это возможно только тогда, когда выражение P_x+Q_y  меняет знак внутри области G.

В плоском случае предельные циклы могут быть соответственно трех видов (рис.2 ): устойчивые (а), неустойчивые (б) и полуустойчивые (в).

Рис.2

Пример 1. Показать, что система уравнений на плоскости (x₁,x₂)=(x,y)

 

Имеет единственное положение  равновесия (0,0) и устойчивый предельный цикл.

Решение. Для исследования данной системы удобно на фазовой плоскости (х,у) перейти к полярным координатам х=rcosφ, y=rsinφ. Тогда из данной  системы получаем следующие уравнения для определения r^I и φ^I(t):

r cosφ – r sinφ*φ= - r sinφ+ r cosφ (1- r),

r sinφ+ r cosφ*φ= r cosφ+ r sinφ (1- r).

Отсюда имеем

r¹=r*(1-r), φ¹=1.

Первое из этих уравнений  имеет 2 частных решения r=0 и r=1. В области 0 < r <1 производная r¹(t)>0, следовательно, решение r(t) возрастает от нуля до единицы, а в области r>1, напротив, r¹(t) и функция r(t) убывает от бесконечности к единице. Поскольку φ=t+φ₀, то при r≠0 и r≠1 все траектории при с обеих сторон от окружности r=1 приближаются по спирали к ней. Следовательно, окружность r=1 является, устойчивым предельным циклом. Положение равновесия x=y=0 есть устойчивый фокус.

Пример 2. Показать, что нелинейное уравнение

+ f(x) +g(x) = 0, x=x(t),

где функции  f(x) , g(x) непрерывно-дифференцируемы на сегменте                a x b и f(x)  cохраняет там знак, в полосе a x b не может иметь предельных циклов.