Бета и гамма функции
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Мая 2015 в 21:05, контрольная работа
Описание работы
1. Бета–функция
2. Гамма–функция
3. Выражение бета-функции через гамма-функцию
4. Таблица основных формул. Графики гамма функции. Графики бета функции
5. Примеры других специальных функций
Файлы: 1 файл
Лекционные наброски на тему “Бета и гамма функции”
Содержание.
1. Бета–функция
1
2. Гамма–функция
5
3. Выражение бета-функции через гамма-функцию
7
4. Таблица основных формул
9
Графики гамма функции
11
Графики бета функции
12
5. Примеры других специальных функций
13
1. Бета–функция
определяется равенством
(1)
Интеграл в правой части называется интегралом Эйлера первого рода. Если
, то этот интеграл является несобственным на верхнем и
нижнем пределах и сходится при
В противном случае
интеграл расходится.
Симметрия. Покажем, что функция
является симметричной
относительно перестановки ее аргументов, то есть
(2)
Действительно, выполнив замену переменной
получим заявленное утверждение:
Второе представление бета-функции. Выполнив подстановку
,
получим
(3)
1
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Покажем, что второй интеграл в правой части последнего равенства
совпадает с первым. Сделаем замену
и воспользуемся
тригонометрическим тождеством
:
Из формулы (3) следует, что
Таким образом,
(4)
2
Рекуррентное соотношение. Преобразуем интеграл (1), используя формулу
интегрирования по частям:
Тогда
Если
, то первый член в правой части этого равенства обращается в
ноль при подстановке пределов, а подынтегральную функцию второго члена
можно представить в виде
Тогда
что влечет
(5)
Учитывая свойство симметрии (2) бета – функции, получим
(6)
Сопоставляя выражения (5) и (6), получим
В терминах обозначений
3
последнее равенство принимает вид
(7)
Если
– натуральное число, то из равенства (5) следует, что
Однако
и, следовательно,
Считая, что
– натуральное число, получим равенство
(8)
Ещё одна формула для Эйлерова интеграла 1-го рода получается из
определения (1) подстановкой
(9)
4
2. Гамма–функция
определяется равенством
(10)
и называется Эйлеровым интегралом второго рода. Сходимость интеграла с
нижним пределом 0 от функции, содержащей множитель
обеспечена
при
, а сходимость интеграла (10) при
и
достигается
благодаря наличию быстро затухающего множителя
.
Пример 1.
Пример 2. Пусть
– натуральное число. Учитывая легко проверяемую
формулу
получим
(11)
Пример 3. Для вычисления
преобразуем интеграл (10), произведя
замену переменной
Тогда
(12)
Затем подставим
:
Интеграл в правой части этого равенства известен под именем “интеграл
Пуассона”:
5
Таким образом,
(13)
Формула приведения (первая основная формула). Получим рекуррентное
соотношение для -функции. С этой целью запишем формулу (10) в виде
и выполним интегрирование по частям, полагая
Тогда
Если
, то первый член в правой части этого равенства обращается в
ноль, и мы получаем формулу приведения
(14)
которая позволяет выразить -функцию через ее значение с меньшим на
единицу аргументом.
Последовательное применение формулы (13) дает
(15)
где
Для натуральных значений аргумента
(16)
Поскольку
, то для любого натурального числа
6
(17)
Пусть теперь аргументом
–функции является полуцелое положительное
число. В этом случае из формулы (15) следует, что
(18)
Таким образом,
(19)
Примеры 4-5.
Приведем без доказательства вторую основную формулу для -функции:
(20)
3. Выражение бета-функции через гамма-функцию.
Метод 1. Чтобы установить взаимосвязь между Эйлеровыми интегралами 1-
го и 2-го родов, выполним в (10) подстановку
, где
Тогда
Затем сделаем замену
, что влечёт
Далее умножим обе части этого равенства на
и проинтегрируем
результат по переменной от 0 до
:
(21)
7
Заметим, что согласно равенству (9),
Далее изменим порядок интегрирования в правой части уравнения (21):
Следовательно,
(22)
Метод 2. Запишем формулу (12) в виде
Перемножив эти равенства, получим
где областью интегрирования в двойном интеграле является первая четверть
.
Переходя к полярным координатам, получим
8
С учетом формул (3) и (12) имеем
Пример 1.
Примеры 2-3. Пусть и – натуральные числа. Тогда
4. Таблица основных формул.
1.
2.
3.
4.
5.
9
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
10
4
2
2
4
10
5
5
10
15
2.0
1.5
1.0
0.5
20
10
10
20
Рис. 1-2. Графики гамма функции.
11
Рис. 3-4. Графики бета функции.
Таблица значений
при
12
5. Примеры других специальных функций
Интегральный синус:
5
10
15
20
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
Интегральный косинус:
Интегральный логарифм:
13
Информация о работе Бета и гамма функции