Частные производные. Примеры решений

Частные производные. Примеры решений

 

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпервого и второго порядка, полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? иПроизводная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на страницеМатематические формулы и таблицы.

Начнем с самого понятия  функции двух переменных, я постараюсь ограничиться минимумом теории, так  как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как  , при этом переменные  ,   называются независимыми переменными или аргументами.

Пример:   – функция двух переменных.

Иногда используют запись  . Также встречаются задания, где вместо буквы   используется буква  .

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной  переменной   соответствует определенная линия на плоскости, например,    – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных   с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда  не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого  и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто  выпил несколько чашек кофе и  настроился на невообразимо трудный  материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной. 

Для частных производных  справедливы все правила дифференцирования  и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти частные производные  первого и второго порядка  функции 

Сначала найдем частные производные  первого порядка. Их две.

Обозначения: 
 или   – частная производная по «икс» 
 или   – частная производная по «игрек»

Начнем с  . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная   считается константой (постоянным числом).

Решаем. На данном уроке я  буду приводить полное решение сразу, а комментарии давать ниже.

Комментарии к выполненным  действиям:

(1) Первое, что мы делаем  при нахождении частной производной  – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без  , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием   (сразу откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания  справедливы для любого примера  по рассматриваемой теме.

(2) Используем правила  дифференцирования  ,  . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как   считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то   мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации  ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое  : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как   константа, то   – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные  производные   и  .

(4) Упрощаем, или, как я  люблю говорить, «причесываем» ответ.

Теперь  . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная   считается константой (постоянным числом).

(1) Используем те же  правила дифференцирования  ,  . В первом слагаемом выносим константу   за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку   – уже константа.

(2) Используем таблицу  производным элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для  (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так:   и  .

Итак, частные производные  первого порядка найдены

Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных  от нахождения «обычных» производных  функции одной переменной:

1) Когда мы находим  частную производную  , переменная   считается константой.

2) Когда мы находим  частную производную  , переменная   считается константой.

3) Правила и  таблица производных элементарных  функций справедливы и применимы  для любой переменной ( ,   либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные  производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения: 
 или   – вторая производная по «икс» 
 или   – вторая производная по «игрек» 
 или   – смешанная производная «икс по игрек» 
 или   – смешанная производная «игрек по икс»

В понятии второй производной  нет ничего сложного. Говоря простым  языком, вторая производная – это производная от первой производной.

Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные  первого порядка: 
 

Сначала найдем смешанные  производные: 

Как видите, всё просто: берем  частную производную   и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично: 

Для практических примеров справедливо следующее  равенство:  

Таким образом, через смешанные  производные второго порядка  очень удобно проверить, а правильно  ли мы нашли частные производные  первого порядка.

Находим вторую производную  по «икс». 
Никаких изобретений, берем   и дифференцируем её по «икс» еще раз: 

Аналогично: 

Следует отметить, что при  нахождении  ,   нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует.

Пример 2

Найти частные производные  первого и второго порядка  функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, рекомендую ознакомиться уроком Как найти производную?

При определенном опыте частные  производные из примеров №№1,2 будут  решаться Вами устно.

Переходим к более сложным  примерам.

Пример 3

Найти частные производные  первого порядка функции  . Проверить, что  . Записать полный дифференциал первого порядка  .

Решение: Находим частные  производные первого порядка: 

Обратите внимание на подстрочный  индекс:  , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что   – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие комментарии:

(1) Выносим все константы  за знак производной. В данном  случае   и  , а, значит, и их произведение   считается постоянным числом.

(2) Не забываем, как правильно  дифференцировать корни.

(1) Выносим все константы  за знак производной, в данной  случае константой является  .

(2) Под штрихом у нас  осталось произведение двух функций,  следовательно, нужно использовать  правило дифференцирования произведения  .

(3) Не забываем, что   – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило:  .

Теперь находим смешанные  производные второго порядка:

, значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем полный дифференциал  . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого  порядка функции двух переменных имеет вид: 

В данном случае:

То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов   и   в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:

Пример 4

Найти частные производные  первого порядка функции  . Проверить, что  . Записать полный дифференциал первого порядка  .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец  оформления задачи – в конце урока.

Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.

Пример 5

Найти частные производные  первого порядка функции  . 
Записать полный дифференциал  .

Решение: 

(1) Применяем правило дифференцирования  сложной функции  . С урокаПроизводная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение   (внутренняя функция) у нас не меняется.

(2) Здесь используем свойство  корней:  , выносим константу   за знак производной, а корень   представляем в нужном для дифференцирования виде.

Аналогично: 

Запишем полный дифференциал первого порядка: 

Пример 6

Найти частные производные  первого порядка функции  . 
Записать полный дифференциал  .

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как  оно достаточно простое

Довольно часто все  вышерассмотренные правила применяются  в комбинации.

Пример 7

Найти частные производные  первого порядка функции  . 

(1) Используем правило  дифференцирования суммы

(2) Первое слагаемое  в данном случае считается константой, поскольку в выражении   нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо   была дана функция    – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

(1) В первом слагаемом  и в числителе и в знаменателе  содержится «игрек», следовательно,  нужно использовать правило дифференцирования  частного:  .  Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит,   считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей, которые  мужественно добрались почти  до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды в пространстве функций появилась злобная производная  и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:

– А почему это  ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха. А мне  всё равно, ведь я «е в степени  икс», и ты со мной ничего не сделаешь!

На что злобная  производная с коварной улыбкой  отвечает:

– Вот здесь  ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.

Кто понял анекдот, тот  освоил производные, минимум, на «тройку»).

Пример 8

Найти частные производные  первого порядка функции  .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец  оформления задачи – в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.

Пример 9

Дана функция двух переменных  . Найти все частные производные первого и второго порядков.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец  оформления где-то рядом.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2:  ,  ,  ,  , 

Пример 4: Ссылка для просмотра или скачивания ниже.

Пример 6:  ,  , 

Примеры  8, 9: