Числовая последовательность

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1:

1; 5; 9; 13; 17; 21 …

Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему  члену числа 4. эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Иначе говоря, последовательность ( ) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие.

, где d некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство

.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать её первый член и разность.

Например: если а =1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию

1; 2; 3; 4; 5; …,

члены которой – последовательные натуральные числа.

Если разность арифметической прогрессии – положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если это отрицательное число, то такая прогрессия называется убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой её член, вычисляя последовательно второй, третий, четвёртый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ не удобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии:

,

.

Точно так же находим, что а =а +5d, и вообще, чтобы найти а , нужно к а прибавить (n-1)d, т.е.

мы получим формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

.

Отсюда ясно, что любая  арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа.

При любом n справедливо равенство , и по определению последовательность (а_n) является арифметической прогрессией, причём разность этой прогрессии равна k.

 

 

 

 

3.1.3 Формула  суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

 

Обозначим сумму n- первых членов арифметической прогрессии (а_n) через S_n и запишем эту суму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

 

,

.

 

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а₁+а_n. Действительно,

 

 и т.д.

 

число таких пар равно n. Поэтому, сложив почленно равенства, получим:

.

Разделив обе части последнего равенства  на 2, получим формулу суммы и первых членов арифметической прогрессии:

 

.

 

 

 

 

 

 

3.2 Геометрические  прогрессии.

 

3.2.1 Геометрические  прогрессии в древности.

В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти  сумму n членов геометрической прогрессии, зная первый её член и знаменатель.

Из одной клинописной  таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения  лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. в другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии:

1+2+2²+…+2⁹. решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой.

 

S_n=2ⁿ+(2ⁿ-1),

 

Однако о том, как он дошёл  до нее никому не известно.

Издавна большой популярностью  пользуется следующая задача легенда, которая относится к началу нашей  эры.

«Индийский царь Шерам  позвал к себе изобретателя шахматной  игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 и т.д. оказалось, что царь не  был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 2², 2³, … 2⁶³. Её сумма равна:

 

2⁶⁴-1=18 446 744 073 709 551 615.

Такое количество зёрен  пшеницы можно собрать лишь с  урожая планеты, поверхность которой  примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Любопытно отметить, что  в задачах на геометрические прогрессии китайской «Математики в девяти книгах» знаменатель равен 2. Формул суммирования здесь нет. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах».

Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих , не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

В древнерусском юридическом  сборнике «Русская правда» содержаться  выкладке о приплоде от скота и  пчёл за известный промежуток времени. О количестве зерна, собранного с  определённого участка земли  и т.д. в некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2. Эти задачи, по видимому, не имели хозяйственного или юридического значения, а как и в других странах являлись результатом развития интереса любителей математики к математическому содержанию подобных задач; однако впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений за явлениями природы из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической или геометрической прогрессии.

 

3.2.2 Понятие геометрической прогрессии.

 

Геометрической  прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел. Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Рассмотрим последовательность, членами  которой являются числа 2 с натуральными показателями:

2, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, ……

Каждый член этой последовательности начиная со второго, получается умножением предыдущего член ан а2. эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Иначе говоря, последовательность b_n – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия: b_n не равно нулю и b_n+1=b_n·q, где q – некоторое число. Обозначим, например, через (b_n) последовательность натуральных степеней числа 2. в этом случае для любого натурального n верно равенство b_n+1 = b_n·2; здесь q=2.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение  любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральном n верно равенство:

b_n+1/b_n = q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Понятно, что знаменатель геометрической прогрессии всегда отличен от нуля.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Например:

Если b₁=1 и q=0,1, то получим геометрическую прогрессию

1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 …  .

Зная первый член и  знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно  второй, третий и вообще любой её член:

 

b₂ = b₁q,

b₃ = b₂q = (b₁q)q = b₁q²,

b₄ = b₃q = (b₁q²)q = b₁q³,

b₅ = b₄q = (b₁q³)q = b¹q⁴.

 

Из этого следует: чтобы  найти b_n, мы должны b₁  умножить на q^n-1, т.е.

 

b_n = b₁ q^n-1.

 

3.2.3 Формула  суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

 

Выведем формулу суммы  n первых членов произвольной геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия (b_n). Обозначим сумму n первых членов её через S_n.:

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + ... + b_n-1 + b_n.   (1)

Умножим обе части  этого равенства на q:

S_nq = b₁q + b₂q + b₃q + ... + b_n-1q + b_nq.

Учитывая, что b₁q = b₂, b₂q = b₃, b₃q = b₄, ..., b_n-1q = b_n, получим :

 S_nq = b₂ + b₃ + b₄ + ... + b_n + b_nq.  (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:

S_nq – S_n = (b₂ + b₃ + ... + b_n + b_nq) – (b₁ + b₂ +... + b_n-1 + b_n) = b_nq – b₁,

S_n(q – 1) = b_nq – b₁.

Отсюда следует, что при q не равном 1:

S_n = (b_nq – b₁)/(q-1).

Мы получили формулу n первых членов геометрической прогрессии, в которой q не равно 1, если q равно 1, то все члены прогрессии равны первому её члену.

При решении задач  удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде:

S_n = (b₁(qⁿ – 1))/(q-1).

 

 

 

 

 

Заключение.

Изучением числовых последовательностей  занимались многие ученые на протяжении многих веков. Они являются одним  из ключевых понятий математики. В  своей работе я постаралась  отразить основные понятия связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано о истории их возникновения, о основных понятиях связанных с ними.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

 

1. Алгебра. 9 класс. С.А. Теляковский, Москва, «Просвещение» 1990г.
2. Большой справочник школьника. Москва, «Дрофа» 2001г.
3. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. В.С. Крамор, Москва «Просвещение» 1990г.
4. «История математики», Глейзер.
5. «Математика в школе» Ж. 2002г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейти к оглавлению