Числовые характеристики случайных величин

Лекция  № 5

 

Числовые характеристики случайных величин

 

5.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть дан ряд распределения  дискретной случайной величины с  конечным числом значений.

 

X	x1	x2	…	xk
P(x)	p1	p2	…	pk

 

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется величина MX, равная:

 

     (1)

 

Пусть дискретная случайная  величина имеет бесконечное число  возможных  значений.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется величина MX, равная:

 

    (2)

 

при условии, что абсолютно  сходится ряд (2).

 

 

 

Математическое ожидание есть среднее значение случайной  величины.

 

 

5.2. Математическое ожидание непрерывной  случайной величины

 

Пусть задана непрерывная  случайная величина X,  распределенная на интервале [a;b], плотность распределения  которой равна p(x). Разобьем интервал  [a,b] на достаточно большое число достаточно малых частей системой точек a=x₀, x₁, x₂,...,x_n-1,x_n=b. Обозначим Dx_i = x_i - x_i-1. По теореме о среднем на каждом интервале можно выбрать x_i, i=1,2,...,n так, что вероятность попадания на каждый из интервалов [x_i-1,x_i] равна

 

  (2)

 

Дискретизируем случайную  величину X, т. е. построим новую величину, которая принимает значение `X=x_i с вероятностью p(x_i)Dx_i.  Тогда

 

      (3)

Формула (3) - это интегральная сумма некоторого выражения. Перейдем к пределу

     (4)

 

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, распределенной на интервале [a;b],  называется величина MX, равная:

 

        (5)

 

В общем случае интервал распределения бесконечный.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, распределенной на бесконечном интервале,  называется величина MX, равная:

 

        (6)

 

При условии, что интеграл (6) абсолютно сходится, т. е.

 

 

 

 

5.3. Математическое ожидание функции  случайной величины 

Пусть задана неслучайная  функция y=f(x). Если значения аргумента  задаются значениями случайной величины X, то значения функции тоже являются значениями случайной величины Y. Величина Y называется функцией от случайной величины X. Если X - дискретная случайная величина, то Y - тоже дискретная случайная величина. Ряд распределения функции от дискретной случайной величины с конечным числом значений состоит из трех строчек

 

X	x1	x2	…	xk
Y	y1=f (x1)	y2=f (x2)	…	yk=f (xk)
P(x)	p1	p2	…	pk

 

Математическое ожидание функции от случайной величины равно:

 

 

 

Если X- непрерывная случайная  величина, то Y - тоже непрерывная случайная  величина и математическое ожидание равно

 

 

5.4. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Математическое ожидание – это  среднее значение случайной величины. Однако, знания среднего значения для характеристики случайной величины недостаточно.

Нужно еще характеризовать  разброс значений случайной величины около среднего значения. Разброс значений случайной величины от среднего значения дает величина X - MX. Но взять математическое ожидание отклонения в качестве меры такого разброса не имеет смысла, так как оно равно нулю.

Определение. Дисперсией случайной величины X называется величина DX, равная

 

    (7)

 

Далее будет показано, что для вычисления дисперсии  можно использовать формулу

 

    (8)

 

По формулам, определенным выше, получаем для дискретной случайной величины с конечным рядом распределения

 

 (9)

Величина M(X²) вычисляется по формуле

 

    (10)

 

Пусть дискретная случайная  величина имеет бесконечное число  возможных  значений. Тогда

 

    (11)

 

При условии, что ряд (11) сходится.

Пусть задана непрерывная  случайная величина X,  распределенная на интервале [a;b].

 

   (12)

 

Для бесконечного интервала  распределения

 

   (13)

 

При условии, что интеграл (13) сходится.

Однако использование дисперсии не совсем удобно. Дисперсия имеет размерность квадрата  единицы измерения исходной случайной величины. Для устранения этого недостатка вводится среднеквадратическое отклонение s, равное

 

 

Замечание. Из введенных определений видно, что математическое ожидание и дисперсия существуют не всегда.

 

5.6. Моменты высших порядков

Моментом порядка k случайной  величины X называется математическое ожидание от X^k. Обозначается

 

 

Теорема. Если существует момент n_k, то существуют моменты и для всех меньших значений k. (Без доказательства.)

Центральным моментом порядка k случайной  величины X называется математическое ожидание от (X-MX)^k. Обозначается

 

 

Дисперсия - есть центральный момент второго порядка.