Дифференциальное исчисление

Тема: Дифференциальное исчисление.

 

Цель: Изучить основные понятия раздела дифференциального исчисления. Научить применять теоретические знания при решении задач.

 

       Конкретные цели. 
              Студент должен знать: 
          - понятие «дифференциальное исчисление»;

- определение приращения аргумента и функции;

- определение производной  функции;

- геометрический и механический смысл производной;

- основные правила дифференцирования;

- таблицу производных; 
          - определение дифференциала;

- схему полного исследования  функции с помощью производной. 
 
            Студент должен уметь: 
           - вычислять производные функций;

- вычислять дифференциалы функций;

- применять производную  и дифференциал для приближенных вычислений;

- применять схему полного  исследования функций при построении  графиков.

 

План лекции:

1. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.
2. Основные правила дифференцирования.
3. Производные элементарных, сложных и обратных функций.
4. Таблица производных.
5. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
6. Изучение производной при исследовании функций и построения графиков.

 

 

Тема: Дифференциальное исчисление.

Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление дифференциального исчисления в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 века). Они сформулировали основные положения раздела и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики.

 

1. Производная функции,

ее геометрический и механический смысл

Пусть задана функция y=f(x) – функция, где х и х0 – некоторая точка интервала (a;b).

Тогда разность х - х0 называется  приращением аргумента и обозначается Dx, т.е. Dx= х - х0 . Отсюда следует, что х= х0 +Dx.

Разность между новым значением функции f(x0 +Dx) и первоначальным ее значением f(x0)называется приращением функции в точке х0 и обозначается символом Df, т.е. Df (х0)= f(x0 +Dx)- f(x0)

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

  или 

 

Пример: f(x)=x 2, имеем: ∆f(x)=(x+∆x) 2 -x 2=x 2+2x∆x+∆x 2 -x 2=2x∆x+∆x 2

 =2x+∆x; f’(x)= =2x

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале.

Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.

 

Выясним геометрический смысл производной функции y=f(x):

Пусть точки А и М принадлежат графику функции y=f(x). Если т.А неподвижна, а т. М движется по графику, приближаясь к т.А, то прямая АМ приближается к некоторой предельной АВ. Эту прямую АВ называют касательной к графику функции y=f(x) в т.А.

 

 

 

                                    у

                y=f(x)

 

 

                        f(x0 +Dx)    М

                        Df

                              f(x0)    А                С

                                  В         a                b   Dx

                         x0         x0 + Dx            x

 

 

 

Если x0-фиксировано, а Dxто т.А неподвижна, а т.М двигаясь по графику, стремится к  т.А. При этом АМ стремится к касательной АВ. Угол САМ= стремится к углу a

Тогда тангенс угла наклона секущей АМ к графику функции.

, где a - угол наклона касательной АВ к графику функции f(x) в точке А(x0, f(x0)).

Вывод: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к кривой:

 

Выясним механический смысл производной:

Рассмотрим движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x(t) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x(t0 + ) - x (t0) =Dx , а её средняя скорость равна: va = Dx /. При значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:

 

 

отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t )

Вывод: Механический смысл производной: Если задана функция, определяющая путь, пройденный телом, то производная от данной функции определяет скорость движения тела.

 

2. Основные правила дифференцирования.

Пусть u = u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые на некотором интервале.

• Тогда производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных этих функций:

(u ± v)¢ = u¢ ± v¢

 

Например: f’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

 

• Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую:

  (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

Например:

 

• Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu)’=cu’

Например: (2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2

 

• Производная частного (дроби) двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату знаменателя дифференцируемой функции, а числитель есть разность между произведениями производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель:

 

Например:

 

3. Производные

 элементарных, сложных и обратных функций.

 

Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации.

• Производная постоянной величины равна нулю:

y=C, ∆y=0,

 поэтому при всяком  ∆x≠0   .

Но тогда , то есть C'=0.

 

• Степенная функция y = xn

       Найдем производную, когда  .

Зададим приращение аргументу , что даст

 

Так как , а , то

Отсюда и

 

 

 

• Показательная функция y=a x :

Найдем производную этой функции: (см.слайд №)

, в  частности 

 

 

 

• Логарифметическая функция f(x) = log a x

,

 

• Тригонометрические функции:

     и др.

 

• Производная обратной функции.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 и пусть при x=x0 существует производная Y’(x0)¹0,  тогда и обратная функция x=f’(y) имеет производную в точке y0=f(x0), причем x’y =

 

Доказательство. Это означает:

1), то есть обратная функция тоже монотонна и непрерывна, и в силу ее монотонности, ее приращение не равно нулю.

2) ∆x и ∆y стремятся к нулю и одновременно, причем при ∆x≠0 и ∆y≠0 и обратно (в силу монотонного возрастания или убывания функции y=f(x) в интервале (a, b)).

 

 Поэтому , т.е. x’y =

Например: y=2x+4

Решение.

Запишем функцию x=φ(y), обратную к заданной функции y=f(x):

y=2x+4 ⇒ 2x=y−4 ⇒ x=−2.

Тогда производная f′(x) имеет следующий вид:

(2x+4)′ = f′(x) = 1/φ′(y) = = =2.

 

• Производная сложной функции.

Пусть задана функция:  , где  ,

т.е.

-сложная функция

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной:

.

Например: Найти производную сложной функции: y = (2x3 + 5)4  

Р е ш е н и е: Обозначим 2x3 + 5 = u ; тогда y = u4. По правилу дифференцирования сложной функции имеем

 

y' = (u4)'u (2x3+5)'x = 4u3(6x2) = 24x2(2x3 + 5)3 .

 

4. Таблица производных.

1)С¢  = 0;	9)
2)(xm)¢ = mxm-1;	10)
3)	11)
4)	12)
5)	13)
6)	14)
7)	15)
8)	16)

 

5. Дифференциал функции.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

 

Таким же важным, как и понятие производной в математическом анализе, является и понятие дифференциала функции.

Вернемся к определению производной: (предел отношения бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента).

Мы знаем, что переменная величина, имеющая предел, может быть представлена в виде суммы этого предела и бесконечно малой: , где α - бесконечно малая

Отсюда имеем, ∆y=(y’+α)∆x=y '⋅∆ x+α⋅∆ x (1)

Эта формула определяет связь между приращением ∆y всякой дифференцируемой функции y=f(x) и приращением ее аргумента ∆x.

Величина α - бесконечно мала одновременно с ∆x: =0.

Поэтому, второе слагаемое α⋅∆ x будет бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆x (как произведение двух бесконечно малых ∆x и α); в то же время, как первое слагаемое y’∆x будет бесконечно малой того же порядка, что и ∆x (если только y’≠0 при данном значении аргумента x). Таким образом, формула определяет бесконечно малое приращение ∆y дифференцируемой функции y (при y’≠0) в виде суммы двух слагаемых: одного (y’ ⋅∆ x) – того же порядка малости, что и ∆x; другого (α⋅∆ x) – более высокого порядка малости.

Поэтому первое слагаемое y’⋅∆x будет главной частью приращения функции ∆y.

Определение. Эту главную часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента, называют дифференциалом функции и обозначают символом dy: dy=y’ ⋅∆ x (2)

 Применив эту формулу к функции y=x, получим dy=dx=1⋅∆x=∆x. Поэтому, естественно под дифференциалом аргумента функции понимать приращение dx=∆x, то есть под символом dx понимают и приращение аргумента, и дифференциал функции, равной аргументу.

Теперь, формулу (2) можно записать dy=y'dx (3),

а формулу (1) в виде ∆y=y’dx+α⋅dx (4).

 Итак, установлено:

1) Дифференциал функции  равен произведению ее производной  на дифференциал аргумента (независимой  переменной).

2) Разность между приращением  функции ∆y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая  более высокого порядка малости, чем приращение аргумента ∆x, а также (при y'≠0) более высокого порядка, чем приращение функции ∆y и ее дифференциал dy.

3) Приращение функции  ∆y и ее дифференциал dy при бесконечно  малом ∆x являются равносильными  бесконечно малыми dy≈∆y

Определение. Производная функции равна отношению ее дифференциала к дифференциалу независимой переменной:

Пример: Найти дифференциал функции y = 3x2 − 4x

Решение.

Находим производную:

y′ = 6x − 4

А затем дифференциал:

dy = y′dx = (6x − 4)dx

 

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Приближенное вычисление функций с помощью дифференциалов основано на приближенном равенстве: ∆y≈dy. Рассмотрим это равенство подробно: