Дифференциальные уравнения в агрономии и иммунологии

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

 

 

 

Реферат

по дисциплине «Дифференциальные уравнения»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2013

Оглавление

Введение 3

Использование дифференциальных уравнений в агрономии…………. 4

Использование дифференциальных уравнений в иммунологии…….. 6

Литература………….………….………….………….………….……… 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Математическое моделирование  – научный подход, связанный с  построением и использованием математической модели исследуемого явления, субьекта или объекта, а также систем, их включающих с целью сокращения времени, сил и средств по предсказанию возможного будущего, повышения обоснованности и точности научных прогнозов, учёта их в деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Использование дифференциальных уравнений в агрономии.

Желательно  получить математическое описание процессов  тепло- и влаго- обмена в зоне СВЧ рециркуляции, что позволит выполнять предварительные рас- четы процесса. С точки зрения свойств электропроводимости, зерновой слой является диэлектриком и при попадании в поле СВЧ подвергается нагреву, интенсивность которого зависит от многих параметров.

Процессы нагрева в  СВЧ параметрах описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений  в частных производных, состоящей  из уравнений Максвелла и, при  отсутствии массопереноса, уравнения  теплопроводности.

Поле влагосодержаний и поле температур влияют на электрическое поле внутри материала. В однородном электромагнитном поле перенос влаги обусловлен действием не только сил диффузии ( ), термодиффузии ( ), но и действием электромагнитной (ХЭ) и магнитной (ХМ) сил.

Система дифференциальных уравнений  тепло- и влагопереноса при СВЧ нагреве имеет вид:

где ε – коэффициент фазового превращения жидкость – пар; с – удельная тепло- емкость образца; r – удельная теплота парообразования; – мощность внутренних источников теплоты; – плотность сухого вещества образца; – коэффициент диффузии жидкости; δ2 – относительный коэффициент термодиффузии; Р – избыточное давление в образце; – емкость образца по отношению к влажному воздуху; - температура зерновки; – коэффициент конвективной диффузии пара.

В зоне СВЧ рециркуляции зерновой слой в различные моменты обработки  подвергается различным воздействиям. Так, сразу после загрузки СВЧ  активной зоны рециркулируемым зерном начинается воздействие на него СВЧ поля. Тепло- и влагообмен в слое описывается системой уравнений (1). Зерновки в слое нагреваются до различной температуры в зависимости от их влажности. После прекращения воздействия поля СВЧ, когда температура зерна достигнет требуемого значения, претерпят изменения уравнения (1.1) и (1.3).

Процесс тепло- и влагообмена при конвективной сушке принято описывать следующей системой уравнений:

где Т – температура агента сушки, °С; F – влагосодержание сушильного агента, г/кг; W – влажность зерна, %; Θ – температура зерна, °С; V – скорость агента сушки, м/с; св, сз – теплоемкость воздуха и зерна, кДж/кг∙°С; ε – порозность зернового слоя; Sv – удельная поверхность семян, 1/м; r' – скрытая теплота парообразования воды, кДж/кг; α– коэффициент теплоотдачи, кДж/м2∙с∙°С; γз – объемная масса зерна, кг/м3; γв – удельный вес воздуха, кг/м3; Рз – давление водяных паров в зерновке; Рв – давление водяных паров в воздухе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Использование  дифференциальных уравнений в  иммунологии.

 

Работы по математическому  моделированию в иммунологии  начаты

в 1974 г. Г. И. Марчуком. Им были построены и исследованы базовая (про-

стейшая) модель инфекционного заболевания, модели противовирусного и

противобактериального иммунного  ответов [1].

Базовая (или так называется простейшая) модель описывается системой

дифференциальных уравнений

где V(t) – концентрация патогенных размножающихся антигенов; F(t) –

концентрация антител; C(t) – концентрация плазматических клеток; m(t) –

относительная характеристика пораженного органа; β – коэффициент размножения антигенов; γ – коэффициент нейтрализации антигена антителом

при их встрече; ξ(m) – коэффициент восстановления деятельности организма; μc – коэффициент, определяющий уменьшение числа плазматических

клеток за счет старения; C* – постоянный уровень плазмаклеток в здоровом

организме; τ – время, в течение которого осуществляется формирование каскада плазматических клеток; α – коэффициент, учитывающий вероятность

встреч антител с антигенами и определяющий скорость образования новых

клеток; μm – коэффициент пропорциональности, характеризующий обратную величину восстановления органа в e раз; σ – некоторая константа, своя

для каждого заболевания; ρ – скорость производства антител одной плазматической клеткой; μ f – коэффициент, обратно пропорциональный времени

распада антител; η – коэффициент, определяющий уменьшение числа антител за счет их реакции с антигенами.

Начальные значения в модели (1) определяются начальными условиями

в момент времени t0. Предположим, что здоровый организм инфицирован

в момент времени t0. Тогда, исходя из биологической постановки задачи,

можно считать, что при t<t0 вирусов в организме не было: V(t)≡0 при

t<t0. Из второго из уравнений системы (1) следует, что концентрация антител при t< t0 не влияет на решение системы (1) и оно зависит только от значения V(t0).

Следовательно, систему (1) нужно  исследовать при начальных значениях:

V(t0)=V0, F(t0)= F0, C(t0)= C0, m(t0)=m0.   (2)

Система (1) в зависимости  от начальных условий имеет различные  стационарные решения. Одним из них  является стационарное решение, описывающее  состояние здорового организма:

V(t0)=0, C(t0)=C*, F(t0)=F*=ρC*/μf , m(t0)=0.   (3)

Вторым стационарным решением является решение, имитирующее

хроническое заболевание. Оно  имеет следующий вид:

где знак ¯ означает, что идет речь о стационарном нетривиальном решении.

В работах исследована устойчивость тривиальных решений простейшей модели иммунологии, моделей противобактериального и противовирусного иммунного ответов в предположении, что коэффициенты уравнений, описывающих эти модели, зависят от времени.

Исследование математических моделей инфекционных заболеваний,

предложенных Г. И. Марчуком, было продолжено его многочисленными учениками и последователями. Обзор этих работ содержится в статье.

Обобщением простейшей модели является следующая система интегродифференциальных уравнений, предложенная в работе:

Здесь дополнительно к  обозначениям, используемым в системе  уравнений, вводятся следующие обозначения:

τc – момент времени в каскадном процессе, длящемся промежуток

времени τ, в который появляются незрелые плазматические клетки;

τm – промежуток времени, в течение которого бактерия оказывает патогенное действие на орган-мишень после своей нейтрализации за счет продуктов метаболизма;

f (t) – известная неотрицательная финитная функция. Множитель

(1-m(t)) в четвертом уравнении системы (5) оказывает лимитирующее дей-

ствие на скорость поражения органа бактериями.

К системе уравнений (2) присоединены начальные условия на отрезке

[-max(τ; τm;τb );0]:

V(t)=φ1(t), C(t)=φ2(t),  F(t)=φ3(t), m(t)=φ4(t),  B(t)=φ5(t).    (6)

где φ1(t) ≥ 0, φ2(t)≥C*> 0, φ3(t) ≥ F*>0, 0 ≤ φ4(t)<1, φ5(t) ≥ B*> 0 – известные непрерывные функции; C*, F* и B* – ненулевые уровни антителообразующих клеток, антител и B -лимфоцитов в здоровом организме соответственно.

Система (5) с начальными условиями  (6) представляет собой математическую модель противобактериального иммунного ответа.

Новак и Мэй исследовали модель, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

где – параметры. В этой модели участвуют

три вида клеток: неинфицированные клетки x, инфицированные клетки y,

свободные вирусы v.

Система (7) имеет несколько  неподвижных точек:

– первая неподвижная точка:

– вторая неподвижная точка:

В работе при ряде упрощений  исследована устойчивость решения

системы уравнений (7) относительно первой неподвижной точки.

В данной работе предложены некоторые обобщения простейшей модели Г. И. Марчука и исследована  их устойчивость.

Исследование устойчивости будем проводить в пространстве Rn n-мерных векторов x= (x1,..., xn) с нормой

Ниже используются следующие  обозначения:

Здесь Λ(K) – логарифмическая норма оператора К; через I обозначен

тождественный оператор.

Некоторые обобщения  простейшей модели иммунологии

Рассмотрим следующее  обобщение простейшей модели, в которую

введены логистические слагаемые:

Здесь использованы обозначения, описанные в системе (1).

Найдем неподвижные точки  системы (8).

Первая неподвижная точка  очевидна:

Исследуем устойчивость неподвижной  точки.

Для этого введем функции

Воспользовавшись этими  функциями, приведем систему уравнений (8)

в промежутке времени 0 ≤ t ≤ τ к следующему виду:

Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений

(11).

Из критериев устойчивости и асимптотической устойчивости решений

систем полученных обыкновенных дифференциальных уравнений

следует, что система уравнений (11) асимптотически устойчива при  выполнении следующих условий:

где c < 0.

Продолжим исследование устойчивости стационарного решения уравнения (8) при t ≥ τ. Так как при t ≥ τ в модели начинают сказываться запаздывания, то от уравнения (11) необходимо вернуться к уравнению (8) и

учесть запаздывания. В  результате приходим к системе уравнений

При выполнении условий (12) система  уравнений (11) асимптотически

устойчива. Таким образом, существует шар B(0, r0) с центром в начале координат и с достаточно малым радиусом r0 такой, что траектории, начавшиеся в этом шаре, стремятся к началу координат. В результате при t =τ траектория системы уравнений (11) и, следовательно, траектория системы уравнений (13) находятся в шаре B(0, r0).

Примем вектор решений  системы уравнений (11) при t =τ за начальное

приближение для системы (13).

Представим систему (13) в  виде, удобном для применения сформулированных критериев устойчивости. В качестве одного из представлений возьмем следующее:

Здесь

Систему уравнений (14) будем  рассматривать как систему уравнений

с постоянным возмущением f2(t). Так как при t=τ x1(t - τ) = 0, то существует промежуток времени τ ≤ t ≤ τ1, в течение которого векторная функция

не покидает шара B(0, r0). Тогда

Воспользовавшись теоремой 1 из работы, можно показать, что если

существует такое отрицательное  число c(c < 0) , при котором выполняются

условия

то решение системы  уравнений (14) не покидает шара B(0, r0 ).

Таким образом, при выполнении условий (12) и (15) решение системы

уравнений (8) не покидает шара B(0, r0). Следовательно, при выполнении

этих условий решение  задачи Коши (8), (9) устойчиво.

Условия (15) при достаточно малых значениях r0 эквивалентны следующим:

Выполнение критериев (12), (16) означает следующее: в промежутке

времени 0 ≤ t ≤ τ колония антигенов уменьшается и ее численность в момент

времени τ достигает величины V(τ). Затем в промежуток времени τ ≤ t < ∞

колония антигенов не превосходит  величины V(τ).

Таким образом, из критериев (12), (16) следует устойчивость, но не

асимптотическая устойчивость неподвижной точки (9) системы уравнений

(8). Это означает, что полного  излечения не наступает и некоторая  колония

антигенов остается в организме. Кроме того, устойчивость исследована  при

малых возмущениях относительно неподвижной точки. В действительности

заражения могут быть велики и следует исследовать устойчивость в целом.

Исследуем асимптотическую  устойчивость неподвижной точки (9) системы уравнений (8) при t > τ в предположении, что условия (12), (15) выполнены. Рассмотрим систему (14). Для удобства представим ее в виде

где

Рассмотрим каждое из уравнений  системы (17) в отдельности. В качестве начальных значений возьмем вектор (x1(τ), x2 (τ), x3(τ), x4 (τ)) решения

системы (11) при t = τ.

Очевидно, при t ≥ τ

Проанализируем полученное решение в предположении, что  были выполнены условия (12), т.е. в  предположении, что значения x1(t),…, x4(t) при

t ≥ τ остаются внутри шара B(0, r0) достаточно малого радиуса.

Из первого уравнения  следует, что если то при

Приступим к анализу второго  равенства системы (18). Так как Следовательно, если

Из стремления x1(t) и x2(t) к нулю при следует, что Поэтому из третьего выражения системы (18) следует, что

Аналогичные рассуждения  показывают, что при μm > 0.

Таким образом, показано, что  при выполнении условий (12) первая неподвижная  точка системы уравнений (8) асимптотически устойчива.