Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

ξ (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения F и обозначается символом F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространства ξ (Х, ξ (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в ξ (X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х') У так, что выполнены следующие условия:

1.для любых из X и любых чисел имеют место равенства:

В ( x₁ + х₂, ) = В ( , )+ В (х₂, ),

В (x₁, + ) = В ( , )+ В(x_1, );

2.существует такое положительное число М, что

||В(х, х') || M||x|| ||x’||          (17)

при всех х, х' X.

Первое из этих условий  означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ||В||.

Линейные операции над  билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения  пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х², У). При полноте У полно и В(Х², У).

Каждому элементу А из пространства ξ(Х,ξ(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х², У), положив

В(х, х') = (Ах)х'. (18)

Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство ξ(X,ξ(Х,У)) на все пространство B(X²,Y). Действительно, если у=В(х, х') = (Ах)х', то

||y|| ||Ax|| ||x’|| ||A|| ||x|| ||x’||,

откуда

                   ||B|| ||A|| (19)

С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном x X отображение х'→ (Ах)х' = В(х, х')

есть линейное отображение  пространства X в У.

Таким образом, каждому  x X ставится в соответствие элемент Ах пространства ξ(X, У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства ξ(Х, ξ(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и

||Ах||= ||(Ax)x'||= ||В(х,x') ||B|| ||x||,

откуда

||A|| ||B|| (20)

Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X²,Y) и ξ{X, ξ(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства ξ(Х, ξ(Х, У)) есть все В(Х², У).

Мы выяснили, что вторая производная F"(x) есть элемент пространства ξ(X, ξ (X, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать F"(x) элементом пространства В(Х², Y).

Очевидным образом можно  ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображения F, действующего из X в Y, определив п-ю производную как производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производная представляет собой элемент пространства ξ(Х, ξ(Х, ..., ξ(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства N(Х^п, У) n-линейных отображений X в У. При этом под n-линейным отображением понимается такое соответствие y=N(x', х", ..., x⁽ⁿ⁾) между упорядоченными системами (х', х", .. . , x⁽ⁿ⁾) элементов из X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хⁱ при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию

|| N (x', х", ..., x⁽ⁿ⁾) || М || х' || • || х" || ... || x⁽ⁿ⁾ ||.

Таким образом, п-ю производную отображения F можно считать, элементом пространства N(Xⁿ, У).

Дифференциалы высших порядков

Мы определили (сильный) дифференциал отображения F как результат применения к элементу h Х линейного оператора F'(x), т. е.

 dF = F'(x)h. Дифференциал второго порядка определяется как

d²F = F" (х) (h, h), т. е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению F''(х) В(X², У). Аналогично дифференциалом п-го порядка называется dⁿF=F⁽ⁿ⁾(x)(h, h, . . ., h), т. е. тот элемент пространства У, в который элемент (h, h, ..., h) переводится отображением ^F(n)(x).

Формула Тейлора

 Сильная дифференцируемость  отображения F означает, что разность F(x+h)—F(x) может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.

Теорема 2. Пусть F — отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области О X и такое, что F⁽ⁿ⁾(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство

f(x + h)-F(x) = F'(x)h + F"(x)(h, h)+ ...

... + F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + ω (х, h),        (21)

где

Доказательство будем вести по индукции. При n = 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное n и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой n на n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых n заменено на п-1. Тогда для отображения F' имеем

F'(x + h) = F'(x) + F"(x)h + F"'(x)(h,h) + ...

… + F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + ω₁ (х, h),        (22)

где ||ω₁ (х, h)|| = o(||h||^n-1). Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим

  , (21)

где .

Из (23) получаем F(x+ h)-F (х)= F'(x)h + F"(x)(h,h)+ ...

 …+ F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + R_n, причем 

||R_n||

Тем самым наше утверждение  доказано.

Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.

Заключение

В этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному функциональному  анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.

Некоторые задачи, возникающие  в функциональном анализе, носят  существенно нелинейный характер; они  приводят к необходимости развивать  наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональный анализ, т.е  изучать  нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах. К нелинейному функциональному  анализу относится, по существу, такая  классическая область математики, как  вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIII вв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.

 

Список  литературы:

1. Колмогоров А.Н., Фомин  С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981. – 475 с.
2. Шилов Г.Е. – Дифференцирование функций в линейном пространстве. Ярославль, 1978. – 118стр.
3. Банах С. – Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,Наука, 1972. – 424стр.