Диффур

 

 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебімен қатар шекералық (шеттік )есептің де алатын орны елеулі.Бұл есепте  шешімге шарт бар нүктеде емес,бірнеше нүктеде,мысалы екі нүктеде шарт қойылады да, шешімнің өзін осы нүктелердің аралығында іздейді.Бұл жерде бір нүктедегі шешімге қойылатын шарт деп, шешімнің өзі мен оның туындыларының сол нүктедегі мәндерін байланыстыратын қатынасты айтады.Шарттың өзі шекералық (шеттік) шарт деп аталады.Ұғым шарттың шешім ізделінетін кесіндінің шеткі нүктелеріне қойылуынан шыққан.Берілген теңдеудің берілген шекералық шартты қанағаттандыратын шешімін табу есебін шекералық есеп деп атайды.Егер шарт a және b нүктелерінде ғана қойылып,шешім [a,b] кесіндісінде ізделінетін ьолса,шарт екі нүктелік деп аталады.Кесіндінің сол жақ нүктесіне қойылатын шарт сол жақ шекаралық (шеттік) шарт деп,ал оң жақ нүктесіне қойылған шарт  оң жақ шекаралық (шеттік) шарт  деп аталады.

Егер дифференциалдық  теңдеу және шекаралық шарт сызықтық болса, онда есеп сызықтық деп аталады.Сызықтық шекаралық  шарт шешім мен оның туындыларының шарт қойылған нүктедегі мәндерінің сызықтық комбинациясы арқылы өрнектейді.

Біз нүктелік сызықтық шекаралық есепті қарастырамыз.

Екінші ретті  сызықтық дифференциалдық теңдеу

ẍ+p(t)ẋ+q(t)x=f(t)                                                                                                   (1)

берәілсін.Мұнда: p(t), q(t), f(t).

Бұл теңдеу үшін қойылатын  сызықтық шекаралық шарт жалпы түрде былай жазылады:

                                                                                          (2)

 

Мұнда  берілген нақты сандар.Олардың кейбіреулері нөлге тең болуы да мүмкін ,бірақ .Егер   болса,онда шекаралық шарт біртекті емес деп аталады.Ал егер де болса, шекаралық шарт біртекті деп аталады.Егер f(t)=0, және болса,шекаралық есеп біртекті деп,ал қалған жағдайларда (яғни f(t),шамаларының ең болмағанда біреуі нөлге тең болмағанда) біртекті емес деп аталады.

Теңдеудің коэффиценттері үзіліссіз  болғанмен (1),(2) есеп үшін төмендегі  үш жағдайдың кез-келгені орындалуы  мүмкін:1) оның шешімі жоқ;2) шешімі бар  және жалғыз;3) бірнеше немесе ақырсыз  көп шешімі

Мысалдар.Берілген шекралық есептерді шешу керек.

1. ẍ+x=0,x(0)=1,x(2)=-1 теңдеудің жалпы шешімін  x(t)=шекаралық шартқа қоялық.Сонда

 

 

Яғни бірінші шарттан  шығады,ал екінші шарттан алынады.Бұл мүмкін емес.Демек есептің шешімі жоқ.

2.ẍ+x=0,x(0)=1,x()=-1.

Бұл жағдайда шекаралық шарттардан

 

алынады,яғни шарттар арқылы анықталмайтын еркін тұрақты болады.Демек есептің шешімі

      x(t)=        

                                                                           

Ол ақырсыз жиын (С-ға әр түрлі мәндер беру арқылы алынатын)

Сызықтық біртекті шекаралық  есеп қарастыралық,яңни сызықтық біртекті теңдеудің 

ẍ+p(t)ẍ+q(t)x=0 ,  t                                                                            (2)

сызықты біртекті шекаралық  шарттарды

                                                

                                             (3)

Қанағаттандыратын шешімін  табалық.Мұнда p(t), q(t)және бұрынша

Әлбетте (2),(3) есептің әрқашан нөлдік (x(t)=0) шешімі бар.Біз бұл есептің нөлдік емес (нөлге тепе-тең болмайтын) шешімнің қай кезде бар болатынын анықталық.Айталық теңдеудің өзара сызықтық тәуелсіз шешімдері болсын.Онда оның жалпы шешімі      x(t)=түрінде  болады.Жалпы шешімдері (3) шартқа қоялық:

 

немесе

 

Бізге бұл жүйенің нөлдік емес шешімі керек.Алгебралық сызықтық біртекті жүйенің нөлдік емес шешімі болуы үшін оның анықтауышы нөлге тең болу керек.Сонымен,(2),(3) есептің тек

Болғанда ғана нөлдік емес шешімдері болады.

     Мысал.

    ẍ+x=sint,x(0)=x() есебінің шешімін табу керек.

ШЕШУІ.Сәйкес біртекті ӱ +y=0 теңдеудің жалпы шешімі

y(t)=

функциясы.Сызықтық біртекті емес теңдеудің өзінің дара шешімі  бар.Онда теңдеудің жалпы шешімі:x(t)=   функциясы.Оны шартқа қойсақ, жүйесі алынады.Жүйенің анықтауышы ,нөлге тең емес.Одан   алынады.Сондықтан берілген есептің жлғыз шешімі-мына функция:

x(t)=

Сызықтық  біртекті емес шартты сызықтық ауыстыу енгізу арқылы әрқашанда сызықтық біртекті (3) шартқа келтіруге болады.Ондай ауыстыру негізінде (1) сызықтық теңдеу сызықтылығын жоймайды,тек оның оң жағы өзгереді.Сондықтан қарастырудың жалпылығына  келесіз сызықтық біртекті емес есеп үшін (1),(3) өрнектерді алуға болады.Ол есептің жалғыз ғана шешімі бар делік.Ол үшін,мысалы болуы жеткілікті.Айталық, x=(3) теңдеудің сол жақ шекаралық шартты қанағаттандыратын: нөлдік емес шешімі,ал x=(3) теңдеудің оң жақ шекаралық шартты қанағаттандыратын: нөлдік емес шешімі болсын.Онда өзінің шартынан басқа екінші шартты қанағаттандырмайды.Әйтпесе, мысалы екінші шартты қанағаттандырса, онда функциясы (2),(3) есептің шешімі болады да,  (1),(3) есептің ақырсыз көп шешімі бар болады.Аталған шешімдер өзара сызықтық тәуелсіз,себебі сызықтық тәуелді шешімдер өзара пропорционал болады да ,олар екі шартты бірдей қанғаттандырады.Бұл мен функцмялары шекаралық функциялар деп аталады.

1. теңдеудің  жалпы шешімін тұрақтыларды варияциялау әдісі бойынша табамыз.Оны  x(t)=

түрінде іздейміз.Сонда  белгісіз функцияларын анықтау үшін мынадай жүйе

 

аламыз.Бұл жүйенің шешімі мына түрде

 

 

болады. Мұнда фуекциясы - және шешімдерінен құрылған вронскиан:

 

Алынған  және мәндерінің біріншісін b–дан t–ға дейін,екіншісін  a-дан t–ға дейін интегралдап,

 

 

 

 

теңдіктерін аламыз.интегралдау (еркін) тұрақтылары.Бұл табылған мәндерді жалпы шешімнің формуласына қойып,(1) теңдеудің жалпы шешімін мына түрде:

x(t)=

аламыз.Оны  бойынша дифференциалдасақ,

ẋ(t)=

фуекциясы алынады.Енді жалпы  шешімді (4) шеттік шарттарға қоялық.Әуелі 1-ші шартқа қойсақ,соңғы формуланы  ескеріп,мынадай теңдік аламыз:

0=(

Сонымен (1),(4) есептің шешімі мына түрде жазылады:

 

x(t)=

немесе

x(t)=                                                                                       (4)

Мұнда

 

немесе

 

                                                                       (5)

Құрылған  функциясы (1),(3) шеттік есептің Грин функциясы деп аталады.Сонымен егер Грин функциясы табылса,(1),(3) есептің шешімі (4) формула арқылы өрнектеледі.Грин функциясының өзі функциясынан тәуелсіз,тек біртекті теңдеудің шешімдері арқылы анықталады.Грин функциясы тің тиянақты (тұрақты) мәнәнде мынадай қасиеттерге ие:

1. tболғанда біртекті (2)теңдеуді қанағаттандырады.
2. t=a немесе t=b болғанда функциясы сәйкес сол жақ немесе шекаралық шартты қанағаттандырады.
3. t=s болғанда үзіліссіз.
4. t=s  болғанда функциясының t бойынша туындысы шамасы 1–ге тең секіру жасайды,яғни

 

 

Әдепкі 1-3 қасиеттер оңай тексеріледі.Сондықтан 4-қасиетті дәлелдедік.Грин функциясының (5) формуласынан

 

алынады.Бұдан

 

шығады.Керісінше,1-3-шарттар Грин функциясын бірмәнді анықтайтын,яғни 1-3-шарттарды қанағаттандыратын функциясы тек (5) түрде ғана болатынын көрсетуге болады.

 

Мысал 1.Шекаралық есепті шешу

Жеңіл жалпы шешімін табамыз:

                                                                                           (6)

(6)-шы теңдеуден 

болса, орындалады.

Шешімі 

болады.

Мысал 2. Берілген шекаралық есеп үшін Грин функциясын құру керек.

• теңдігінің ортақ шешімі . шешімі шартын қанағаттандырады,ал екінші шекаралық шарттың шешімі . Берілген шекаралық есеп үшін Грин функциясын

түрінде іздейміз.

 функциясы  шарттарымен анықталады.

Осыдан

.

Грин функциясы 

түрге келеді.