Диофант и его уравнения

Областная конференция

«Киселевские чтения XI »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Диофант и его  уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила

учащаяся 8 «А» класса

МКОУ Бобровская СОШ №1

Яковлева Марина Владимировна

 

Руководитель

Бобылкина Елена Александровна,

учитель математики

МКОУ Бобровская СОШ №1.

 

2013 г.

 

Содержание 

1. Введение.

2. Цель работы.

3. Жизнь Диофанта.

4. Главные достижения Диофанта

5. Неопределенные уравнения первой степени.

6. Неопределенные уравнения второй степени.

7. Применение диофантовых уравнений в жизни.

8. Вывод.

9. Литература.

 

1. Введение.

«Язык алгебры – уравнения. Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический»

 И. Ньютон

Когда я впервые узнала имя Диофанта, меня заинтересовал этот человек как математик. Я прочитала много литературы про Диофанта и узнала, что он – великий математик, создавший «Арифметику» в 13-ти томах, именно у Диофанта впервые появляется буквенная символика. Диофант сформулировал правила алгебраических опeраций со степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями и правила знаков при умножении. Всё, что я узнала о Диофанте, я решила изложить в проекте, ведь у меня было достаточно информации о нём.

 

2. Цели работы.

 

1. Узнать о Диофанте и его уравнениях

2. Научиться решать диофантовы уравнения

3. Найти применение диофантовым уравнениям в жизни.

 

3. Жизнь Диофанта.

 

В III—IV веках нашей  эры жил в городе Александрии  знаменитый греческий математик  Диофант. До нас дошли шесть из тринадцати книг «Арифметики», написанных Диофантом. История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице - надписи, составленной в форме математической задачи. Эта надпись дает возможность определить продолжительность жизни математика, которого позднее назвали «отцом греческой алгебры»

Надпись на гробнице Диофанта

 

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень 
Мудрым искусством его скажет усопшего век. 
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком 
И половину шестой встретил с пушком на щеках. 
Только минула седьмая, с подругою он обручился. 
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. 
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. 
Отнят он был у отца ранней могилой своей. 
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. 
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Определим сколько  лет прожил Диофант.

 

Пусть Диофант прожил x лет.

Составим и решим уравнение:

Умножим обе части уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Диофант прожил 84 года

 

4. Главные достижения Диофанта

Одним из главных достижений Диофанта было написание  - Арифметика в 13 книгах.

К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Лист из Арифметики (рукопись XIV века).

В верхней строке записано уравнение:

У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной z, квадрата d , куба c , четвертой dd (квадратоквадрат), пятой dc (квадратокуб) и шестой степеней ее, а также первых шести отрицательных степеней, т. е. рассматривал, величины, записываемые нами в виде x⁶, x⁵, x⁴, x³, x², x, x^-1, x^-2, x^-3, x^-4, x^-5,  x^-6. Диофант применял знак равенства (символ i) и знак  для обозначения вычитания.

Диофант сформулировал  правила алгебраических опeраций со степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями (для m + n  6), и правила знаков при умножении. Это дало возможность компактно записывать многочлены, производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с обратными заиками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях уравнения.

 

5. Неопределенные уравнения первой степени

1) Неопределенные  уравнения  первой  степени вида ax + by =  c

Методы решения  уравнения первой степени:

1)Метод перебора 

2)Метод «спуска» 

Задание 1:

Найти все натуральные значения переменных х и у, которые являются решением уравнения: 4,5х+6у=57.

Решение:

Метод перебора

Помножим обе части  уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных чисел, получим: 9х+12у=114.

Выразим у через х:

Далее воспользуемся  методом перебора (учитывая, что х  и  у - натуральные).

подставляя вместо  х числа, удовлетворяющие равенству, получили некоторые значения  у.

Метод «спуска»

1)  Если свободный  член с  неопределенного уравнения ax + by = c не делится на НОД (a, b), то уравнение не имеет целых корней.

2) Если коэффициенты  a, b являются взаимно простыми числами, то уравнение имеет, по крайней мере, одно целое решение.

 

2) Неопределенные уравнения первой степени  вида ax + by + cz= d. Задание 2:

Найти целые решения уравнения:

Решение:

 

Выразим переменную у через z и x

Введём замену

Придавая  z  и  t  целые значения, получим решение исходного уравнения:

t	0	1	2
z	1	2	3
x	-4	-3	-2
y	27	23	21

 

6. Неопределенные уравнения второй степени вида x² + y² = z²

Один из путей решения  уравнения  в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196…

3, 5, 7,  9,  11,  13,  15,  17, 19 , 21,  23,  25,    27…

Сформулируем такую  теорему:

Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов 

Если х - нечетное число, то

 

7. Применение диофантовых уравнений в жизни

Рассмотрим задачу, с  которой вполне можно встретиться  в жизни.

 

Задача 3. На складе имеются гвозди в ящиках по 16, 17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей , не вскрывая ящика?

Решение.

Ящиков по 40 кг не может  быть больше двух. Два быть не может , т.к. 100-80=20, а 20 кг можно набрать, только вскрыв один ящик.

Пусть 1 ящик по 40 кг. Комбинируем  другие ящики. Пусть 1 ящик по 17 кг, тогда  останется 43. взять по 16 кг не можем.

Пусть 2 ящика по 17 кг, тогда останется 26 кг. Целых ящиков по 16 кг не получится.

Пусть 3 ящика по 17 кг, тогда останется 9 кг, которые придется выдавать, вскрыв какой-нибудь ящик.

Значит, ящики по 40 кг нам не нужны. Перебирая варианты с ящиками по 16 кг и 17 кг, получим единственное решение : 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг.

 

Задача 3. Покупатель приобрел в магазине на 21 р. товара. Но у него в наличии денежные знаки только 5 – рублевого достоинства, а у кассира – 3-рублевого. Требуется знать , можно ли при наличии денег расплатиться  с кассиром и как именно?

 

Решение:

Пусть x – число 5 - рублевок, y – 3 - рублевок.

 

 

 

Подставим в у вместо х дробь 3/2t

 

По условию x > 0, y > 0.

Кроме того, t – четное, иначе ни x, ни y не будут целыми.

При t = 4, 6, 8, … имеем:

9. Вывод

Диофантовы уравнения  и их решения и по сей день остаются актуальной темой. Как я убедилась, с помощью неопределенных уравнений  разрешаются проблемы, ставшие у  нас на пути.

Умение решать такие уравнения  позволяет найти остроумные и  сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени.

Проведя данное исследование, я овладела новыми математическими навыками, рассматривая некоторые методы решения неопределенных уравнений. Решая уравнения, получала некоторые результаты, которые можно использовать как в ежедневной практической деятельности, так и при рассмотрении проблем, окружающего нас Мира. Изучая диофантовы уравнения, показала практическое им применение.

Именно Диофант положил  начало всему этому большому математическому  разделу, в чем его огромнейшая  заслуга.

10. Используемая литература

1)   Н. Я. Виленкин  и др. «За страницами учебника  математики»: Арифметика. Алгебра.  Геометрия: Кн. Для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений  – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.

2) А. О. Гельфонд. Решение уравнений  в целых числах (Серия «Популярные  лекции по математике»). – М.: Наука, 1983.

3) А. Жуков. Неопределенные уравнения.  Энциклопедия для детей, том 11. Математика. – М.: Просвещение, 1990.

4) В. И. Нечаев. Простейшие неопределенные уравнения. Детская энциклопедия, т. 3 (1-е изд.), т. 2 (2-е изд.).

5) Я. И. Перельман. Занимательная  алгебра – М: Наука; 1970.

6) Л. Ф. Пичурин. За страницами  учебника алгебры: кн. Для учащихся 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.

7) Д. Пойя. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.

8) О.К. Плетнева, Г.Р. Рубцова - Первая летняя математическая школа. Сборник материалов, 2011