Диофантовы уравнения

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

- алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к-рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с чем они наз. также неопределенными уравнениями. Понятие Д. у. в современной математике часто относят также к алгебраич. уравнениям, решения к-рых отыскиваются среди целых алгебраич. чисел какого-либо алгебраич. расширения поля рациональных чисел Q, среди р-адических чисел и т. п.

Решение уравнений в целых  числах является одной из древнейших математич. задач. Уже в начале 2-го тысячелетия до н. э. вавилоняне умели решать системы таких уравнений с двумя неизвестными. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником для нас является "Арифметика" Диофанта (вероятно, 3 в. н. э.), содержащая различные типы уравнений и систем. В ней Диофант (по его имени - название "Д. у.") предвосхищает ряд методов исследования уравнений 2-й и 3-й степеней, развившихся только в 19 в. (см. [1]). Создание древнегреческими учеными теории рациональных чисел привело к рассмотрению рациональных решений неопределенных уравнений. Эта точка зрения последовательно проводится в книге Диофанта. Хотя сочинение Диофанта содержит лишь решения конкретных Д. у., однако есть основания считать, что он владел некоторыми общими приемами.

Исследование Д. у. обычно связано с большими трудностями. Более того, можно явно указать  многочлен

с целыми коэффициентами такой, что не существует алгоритма, позволяющего по любому целому хузнавать, разрешимо ли уравнение

относительно у ₁, . . ., у (см. Диофантовых уравнений проблема разрешимости). Примеры таких многочленов можно выписать явно. Для них невозможно дать исчерпывающего описания решений (если принимать Чёрча тезис).

Простейшее Д. у.

где a и b - целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений (если х ₀ и у ₀- решение, то числа х=х ₀+bп, у=у ₀- ап, где п- любое целое, тоже будут решениями). Другим примером Д. у. является

x²+y²=z².

Целые положительные решения  этого уравнения представляют длины  катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и наз. пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам:

где ти п- целые взаимно простые числа (m>n>0). Диофант в соч. "Арифметика" занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. 1-й степени была создана в 17 в. К. Г. Баше (С. G. Bachet). К началу 19 в. трудами П. Ферма (P. Fermat), Дж. Валлиса (J. Wallis), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange) и К. Гаусса (С. Gauss) в основном было исследовано Д. у. вида

где а, b, с, d, e, f- целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение 2-й степени с двумя неизвестными. С помощью цепных дробей Ж. Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. 2-й степени с двумя неизвестными. К. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения нек-рых типов

Д. у.

В исследованиях Д. у. выше 2-й степени с двумя неизвестными серьезные успехи достигнуты лишь в 20 в. А. Туэ (А. Т1ше) установил, что Д. у.

где   a₀, а ₁, . . ., а _п, с- целые, а многочлен a₀tⁿ+a₁t^n-1+ ...+ а _n неприводим в поле рациональных чисел, не может иметь бесконечного числа целых решений. Однако метод Туэ не дает возможности вычислять ни границы решений, ни число решений. А. Бейкером (A. Baker) получены эффективные теоремы о границах решений нек-рых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида

ах ³+у ³=1.

Существует много направлений  теории Д. у. Так, известной задачей  теории Д. у. является проблема Ферма - гипотеза об отсутствии при n>3 нетривиальных решений Д. у.

Исследование целых решений  уравнения (1) является естественным обобщением задачи о пифагоровых тройках. Положительное  решение проблемы Ферма для n=4 получено Л. Эйлером. Благодаря этому результату проблема Ферма сводится к доказательству отсутствия ненулевых целых решений  уравнения (1) при нечетном простом п. Полное исследование решений уравнения (1) не завершено (1978). Трудности, возникающие при его решении, связаны с отсутствием единственности разложения на простые множители в кольце целых алгебраич. чисел. Теория дивизоров в кольцах целых алгебраич. чисел дает возможность установить справедливость теоремы Ферма для многих классов простых показателей п.

Арифметика колец целых  алгебраич. чисел используется также в ряде других задач Д. у. Так. напр., ее методами подробно исследованы уравнения вида

где N(a)- норма алгебраич. числа а, и отыскиваются целые рациональные числа х _л, х ₂, . .., х _п, удовлетворяющие уравнению (2). К уравнениям этого класса относится, в частности, Пелля уравнение х ²-dy²=l. В зависимости от значений a₁, . . ., a_n, входящих в (2), эти уравнения делятся на два типа. К первому типу - так наз. полных форм - относятся те уравнения, у к-рых среди a_i найдется тлинейно независимых чисел над полем рациональных чисел Q, где m=[Q(a₁, . . ., a_n):Q] - степень поля алгебраич. чисел Q(a₁, . . ., a_n )над Q. К неполным формам относятся формы, у к-рых максимальное число линейно независимых a_i меньше т. Случай полных форм проще и в основном его исследование доведено до конца. Можно, напр., для всякой полной формы описать все ее решения (см. [2], гл. 2).

Второй  тип - так наз. неполных форм, сложнее и  теория его далека от завершенности (1978). При изучении таких  уравнений применяютсядиофантовы приближения. К уравнениям этого типа относится уравнение 

где F(x, у)- неприводимый однородный многочлен степени  . Это уравнение может быть записано в виде

где a_i- все корни многочлена F(z,l) = 0. Существование бесконечной последовательности целых решений уравнения (3) привело бы к соотношениям вида

для какого-либо a_j. Без ограничения общности можно считать, что   Поэтому при достаточно большом i неравенство (4) будет противоречить Туэ- Зигеля- Рота теореме, откуда следует, что уравнение F(x, y)=С, где F- неприводимая форма степени, большей или равной 3, не может иметь бесконечного числа решений.

Уравнения вида (2) представляют собой достаточно узкий класс среди  всех Д. у. Напр., несмотря на простой вид, уравнения

и

не входят в этот класс. Исследование решений второго  из приведенных уравнений  относится к сравнительно хорошо изученному разделу  Д. у.- представлению  чисел квадратичными  формами. Теорема  Лагранжа утверждает разрешимость уравнения (6) при всяком натуральном N.Суммой трех квадратов представляется любое натуральное число, отличное от чисел вида 4^a(8k-1), где аи к,- целые неотрицательные (теорема Гаусса). Известны критерии существования рациональных или целых решений уравнений вида

F( х _ъ х ₂, ..., х _п) = а,

где F(x₁, х ₂, . .., х _п)- квадратичная форма с целыми коэффициентами. Так, теорема Минковского - Хассе утверждает, что уравнение

где a_ij и b рациональны, допускает рациональное решение тогда и только тогда, когда оно разрешимо в действительных числах, а также в р-адических числах для каждого простого числа р.

Представление чисел произвольными  формами 3-й степени  и формами более  высоких степеней изучено меньше нз-за возникающих здесь часто принципиальных трудностей. Одним из основных методов исследования представления чисел формами высших степеней являетсятригонометрических сумм метод. Этот метод состоит в явной записи через интеграл Фурье числа решений уравнения, затем с помощьюкругового метода осуществляется, в сущности, выражение числа решений уравнения через число решений соответствующих сравнений. Метод тригонометрических сумм меньше, чем другие методы, зависит от алгебраической специфики уравнения.

Существует  большое число  конкретных Д. у., решаемых элементарными методами (см. [5]).

Лит.:[1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [2] Боревич З. <И., Шафаревич И. Р.. Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Diсksоn L. E., History of the theory of numbers, v. 1, N. Y., 1934; [4] Башмакова И. Г., Диофант и диофантовы уравнения, М., 1972; [5] Серпинский В., О решении уравнений в целых числах, пер. С польск., М., 1961.

С. М. Воронин.