Движение материальной точки в центральном поле сил

 

 

 

 

1. Постановка задачи:

 

     В  зависимости от расположения  плоскости относительно круговой  конической поверхности можно  получить в сечении окружность, эллипс, параболу, гиперболу или  две пересекающиеся прямые. Указанные  кривые объединяют общим названием конические сечения. Кроме того, эти кривые связывает то, что все они являются траекториями движения материальной точки в центральном поле тяготения.

     Рассмотрим движение материальной точки под действием центральной силы, т.е. силы зависящей только от расстояния рассматриваемой материальной точки до некоторого центра притяжения или отталкивания и направленной в каждый момент вдоль прямой, соединяющей рассматриваемую материальную точку с центром.

   

     Уравнения движения имеют вид:

     Найти движение – значит проинтегрировать эту систему уравнений.

    При движении материальной точки в поле центральной силы всегда действуют два закона сохранения: закон сохранения кинетического момента и закон сохранения механической энергии.

 

 

 

 

 

 

2 Решение

Уравнения движения имеют вид:

 

Согласно второму  уравнению

но  можно представить в виде: 

и, следовательно,

Подставив (3) и (4) в уравнение (1), получим:

откуда

 

или

Для удобства интегрирования введем постоянную величину  знак дифференциала в числителе, а также прибавим и вычтем величину

 

 

в подкоренном  выражении.

В результате получим:

 

 

Интегрирование  этого выражения приводит к уравнению  орбиты:

 

Здесь φ0 - постоянная интегрирования - зависит от начала отсчета углов φ.

Уравнение орбиты (6) можно представить в виде:

или, введя обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим серию  графиков (10) функции для p=1, а e =0; 0.1; 0.5; 1; 10.

 

 

   

 Определение периода  обращения по эллиптической орбите

     Секториальная  скорость материальной точки,  движущейся по эллиптической орбите в центральном поле тяготения, постоянна и равна 1/2 V0r0 cos , а площадь, охватываемая эллиптической орбитой (площадь эллипса), составляет πаb, где а и b - соответственно большая и малая полуоси эллипса.

   

 

      Следовательно, период обращения (время полного оборота точки по орбите) будет равен:

Для эллипса  имеем:

И

откуда 

и, следовательно,

Подставив в (11) значение b из (12) и р из (8), получим  после элементарных преобразований формулу, определяющую период обращения:

 

 

 

 

 

 

 

 

     Время релаксации — период времени, за который амплитудное значение возмущения в выведенной из равновесия физической системе уменьшается в e раз (e — основание натурального логарифма) 
     Согласно принципу Ле Шателье — Брауна, при отклонении физической системы от состояния устойчивого равновесия возникают силы, которые пытаются вернуть систему к равновесному состоянию. Если в состоянии равновесия некоторая физическая величина f имеет значение , причём отклонение от равновесия , то в первом приближении можно считать, что эти силы пропорциональны отклонению. Кинетическое уравнение для величины f запишется в виде

где λ — некоторый  параметр, а знак минус указывает  на то, что реакция системы на возмущение приводит к возвращению к равновесному состоянию.

    Время релаксации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод:

Интересно отметить, что полная длина эллипса с  полуосями совпадает с длиной волны синусоиды. Дело в том, что  такой эллипс является линией пересечения цилиндрической поверхности, а если цилиндрическую поверхность разрезать по одной из образующих и развернуть на плоскости, то линия пересечения без искажения длины перейдёт в синусоиду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1. С.П. Стрелков. Механика. М.: Наука, 1975. Гл. II, §§ 16,17,22; гл. IV, .§§ 31, 32, 36, 37; гл. VII, § 53,

гл. IX. §§ 76, 78-80.

2. А.Н. Матвеев. Механика  и теория относительности. М.: Высшая школа, 1976, Гл. 5, §§ 20, 22; гл. 6,

§§ 24, 26, 27; гл. 7, §§ 30-32; гл. 13, §§ 57, 58.

3. И.В. Савельев. Курс общей  физики. Том 1. М.: Наука, 1982, Гл. II, §§ 7, 9; гл. III; гл. IV, §§ 46, 47; гл.

VII, § 50.

4. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Том 1 (механика). М.: Наука, 1973, Глава III, §§

14,15.

5. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. В кн. "Искусственные спутники Земли". Вып. 1. М., Изд-во АН СССР, 1958.

6. Проскурин В. Ф. и Батраков Ю. В. Возмущения в движении искусственных спутников, вызываемые сжатием Земли. Бюллетень Ин-та теорет. астрономии, 1960, т. 7, № 7.

7. Левин Б. А. Искусственные спутники Земли и метеорные тола. "Метеоритика", 1960, вып. 18.

8. И.И, Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. М.: Изд-во МГУ, 1978.

9. Зубарев Д. Н., Неравновесная статистическая термодинамика, М., 1971.