Формирование математической модели

Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми. Пример последнего: на перекрестке улиц можно ожидать зеленого сигнала светофора и полминуты, и две минуты (с разной вероятностью), но среднее время ожидания есть величина вполне определенная, и именно она может быть объектом моделирования.

Важнейшим этапом моделирования  является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений  на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). Чаще всего невозможно (да и не нужно) учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин y_j. От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели. Выделить более важные (или, как говорят, значимые) факторы и отсеять менее важные может лишь специалист в той предметной области, к которой относится модель. Так, опытный учитель знает, что на успех контрольной работы влияет степень знания предмета и психологический настрой класса; однако, влияют и другие факторы - например, каким уроком по счету идет контрольная, какова в этот момент погода и т.д. - фактически проведено ранжирование.

Отбрасывание (по крайней  мере при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет объект моделирования и способствует пониманию его главных свойств и закономерностей. Умело ранжированная модель должна быть адекватна исходному объекту или процессу в отношении целей моделирования. Обычно определить адекватна ли модель можно только в процессе экспериментов с ней, анализа результатов.

Следующий этап - поиск  математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной  формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.

Когда математическая модель сформулирована, выбираем метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса.

Разработка алгоритма  и составление программы для  ЭВМ - это творческий и трудно формализуемый процесс. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования, описанные в главе 3. Из языков программирования многие профессионалы-физики, например, до сих пор предпочитают FORTRAN как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математической ориентации. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, С - в зависимости от характера задачи и склонностей программиста.

После составления программы  решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (желательно, с заранее известным  ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это -лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. По существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной. Программистский фольклор полон историй об ошибках на этом пути.

Затем следует собственно численный  эксперимент, и выясняется, соответствует  ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

3. ПРИНЦИПЫ 

         МОДЕЛИРОВАНИЯ

 

Начнем с того, что рассмотрим основные принципы моделирования, в сжатой форме отражающие тот достаточно богатый опыт, который накоплен к настоящему времени в области разработки и использования математических моделей.

1. Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации ее моделирование лишено смысла. Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель.
2. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время. Обычно задают некоторое пороговое значение P₀ вероятности достижения цели моделирования P_(t), а также приемлемую границу t₀ времени достижения этой цели. Модель считают осуществимой, если может быть выполнено условие P(t₀)≥ P₀.
3. принцип множественности моделей. Данный принцип, несмотря на его порядковый номер, является ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы (или явления), которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно при использовании любой конкретной модели признаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемы процесс.
4. принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.
5. Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь ввиду, что параметризация снижает адекватность модели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИЗИКЕ

 

1. Электрические цепи с 

          внешним периодическим

          воздействием

 

Электрической цепью  с внешним периодическим воздействием называют такую электрическую цепь, хотя бы одна входная переменная которой (задающее напряжение или ток) является периодической функцией времени, а остальные либо также являются периодическими функциями времени, либо постоянными величинами.

Математическая модель такой цепи, сформированная рассмотренным  в литературе [6.1] методом переменных состояния, представляет собой нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, в матричной форме имеющую вид:

                                                                   (1)          

где - одностолбцовая матрица (вектор) пе 
ременных состояния; G(t,X) = [g,(t,X),g2(t,X),...,gn(t,X')]'- п- 
мерная периодическая вектор-функция; Т - период внешнего воздействия.

Для линейных электрических цепей  с постоянными сосредоточенными параметрами математическая модель (2.1) может быть представлена в виде:

(2.2)

где B(t) = [b,(t),b2(t),...,bn(t)]' - n-мерная периодическая вектор-функция внешних воздействий; А - квадратная матрица л-го порядка постоянных коэффициентов дифференциальных уравнений.

При математическом моделировании  электрических цепей часто пользуются понятиями мгновенного и динамического состояний электрической цепи. Под мгновенным состоянием электрической цепи понимают совокупность значений всех переменных состояния в произвольный фиксированный момент времени. Под динамическим состоянием (движением. динамикой) подразумевают поведение переменных состояния в течение некоторого временного интервала, в частности, сколь угодно большого. В зависимости от характера изменения переменных состояния, движения электрических цепей подразделяют на стационарные и нестационарные. При стационарной динамике переменные состояния либо не изменяются во времени (стационарные состояния статического типа), либо изменяются периодически (стационарные состояния периодического типа). Все остальные динамические состояния относятся к нестационарным. Среди них, в свою очередь, выделяют переходные состояния (переходные процессы) и стохастические (хаотические) состояния. К переходным относятся такие нестационарные состояния, которые в некоторый момент времени заканчиваются установлением стационарной динамики. Если же переменные состояния изменяются- случайным образом (хаотически) и не устанавливается никакое стационарное состояние, то такая динамика носит название стохастической (хаотической).

Для линейных электрических цепей  с постоянными сосредоточенными параметрами характерно наличие одного стационарного состояния, которое часто называют установившимся. В случае цепей с внешним постоянным воздействием это стационарное состояние статического типа (см. [6.1]), а для цепей с внешним периодическим воздействием - стационарное состояние периодического типа, период которого совпадает с периодом внешнего воздействия.

Понятие коэффициента пульсаций. Пусть  функция времени f(t) периодическая  с периодом Т и удовлетворяет условиям Дирихле. В этом случае данную функцию можно представить в виде ряда Фурье:   или

           (2)

где  -  круговая частота;   

- коэффициенты разложения функции  в ряд Фурье; - порядковый номер гармонической составляющей; - постоянная составляющая; - амплитуда -ой гармонической составляющей; - начальные фазы -ой гармонической составляющей;

 

Коэффициентом пульсаций по k-ou гармонике называется величина, равная отношению амплитуды k-ou гармоники к постоянной составляющей:

                (3)

С ростом порядкового  номера амплитуды гармонических  составляющих уменьшаются. Во многих случаях это позволяет с достаточной степенью точности представить периодическую функцию в виде суммы постоянной и первой гармонической составляющих. В силу данного обстоятельства при характеристике периодических функций коэффициент пульсаций по первой гармонике используется чаще других.

Вычисление коэффициента пульсаций периодической функции  по первой гармонике часто осуществляют, не прибегая к разложению функции в ряд Фурье, по формуле

                 (4)

где - соответственно максимальное и минимальное значения функции f(t) на периоде. Если функция f(t) рассчитывается в дискретные моменты времени, то вычисление среднего значения можно приблизительно производить по формуле

                                                    (5)

где М - количество точек  дискретизации функции f(t) на периоде.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Формирование    

               математической модели

 

Для формирования математической модели заданной электрической цепи воспользуемся методом переменных состояния.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2 – Электрическая цепь.

 

 

Ток в источнике определяется по формуле:

Ток от постоянной:

           (6)

Для определения тока ЭДС от переменной преобразуем схему по методу эквивалентного генератора. Напряжение ЭДС холостого хода на сопротивлении R₄ определим по схеме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 – Схема после преобразования по методу эквивалентного генератора.

 

Заменим треугольник сопротивлений  R₁, R₂, R₃ эквивалентной звездой:

; ;   (7)

 

Схема преобразуется к виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4 – Звезда сопротивлений.

 

В такой схеме то существует только в замкнутом контуре E(t), C, R₂₃, R₁₂, L. Его величина:

,        (8)

где (Ом),

         (Ом).

Величина падения напряжения на сопротивлениях R₂₃ и x_c равны напряжению холостого хода:

            (9)

В значениях классической теории переменного тока

,          (10)

где ,

     

Величина внутреннего сопротивления  эквивалентного генератора определяется по току короткого замыкания в  цепи при замкнутом сопротивлении R₄.

Таким образом схема решения  показана на рисунке 1.

Та же звезда дает более простую  форму:

 

 

 

 

Рисунок 5 – Звезда сопротивлений.

 

Таким образом:

   (11)

 

Выражение для определения  заданной выходной переменной через переменные состояния имеет вид:

   (12)

 

 

3. Анализ и параметрическая 

        оптимизация электрической   

        цепи

 

1. Задача параметрической 

               оптимизации

 

Проектированием называют процесс  создания описания, необходимого для построения в заданных условиях еще не существующего объекта, на основе первичного описания этого объекта (задания на проектирование).

Проектирование сводится к решению  группы задач синтеза и задач  анализа. При этом задачи синтеза связаны с созданием объекта, в то время как задачи анализа - с изучением свойств данного объекта.

Различают синтез структурный и  параметрический. Цель структурного синтеза - получение структурной схемы объекта, содержащей сведения о составе элементов и способах их соединения между собой. Цель параметрического синтеза - определение числовых значений параметров элементов. Синтез носит название оптимизации, если определяются наилучшие в заданном смысле структуры и значения параметров. Задачу выбора оптимальной структуры называют структурной оптимизацией, а расчет оптимальных значений параметров при заданной структуре - параметрической оптимизацией.