Формула Остроградского и ее применение при решении неопределенных интегралов

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет физико-математических и компьютерных наук

Кафедра математического  анализа, алгебры и геометрии

 

 

Курсовая  работа

по общепрофессиональным дисциплинам (Математика)

на  тему:

Формула Остроградского и ее применение при решении неопределенных интегралов

Выполнила:

студентка

группы ФМ-2

Амирагян Гаянэ Гайковна

________________________

^{(подпись  студента)}

________________________

^{(оценка)}

Научный руководитель:

к. ф.-м. н., доцент

Волотов Н.Н.

_______________________

^{(подпись  преподавателя)}

 

 

 

 

Липецк, 2013

Оглавление

§1. Метод Михаила Васильевича Остроградского. 3

§2. Применение формулы М. В. Остроградского при вычислении неопределенных интегралов. 8

§3. Практическое задание. 11

Литература. 13

 

§1. Метод Михаила Васильевича Остроградского.

Всякая правильная ненулевая  рациональная дробь может быть представлена в виде суммы элементарных дробей. Первообразные элементарных дробей и являются трансцендентными функциями вида ; первообразная элементарной дроби является рациональной дробью; первообразная же элементарной дроби может быть представлена в виде суммы правильной рациональной дроби и трансцендентной функции вида  , являющейся первообразной от дроби вида  . Поэтому всякая первообразная любой рациональной дроби представима, вообще говоря, в виде суммы рациональной дроби (алгебраическая часть) и трансцендентной функции, являющейся первообразной от суммы дробей вида  и .

Таким образом, если правильная рациональная дробь и

 

-разложение ее знаменателя, то существуют такие многочлены и такие числа что имеет место равенство

 

отсюда, произведя под  знаком интеграла сложение дробей, имеем

 

где

Многочлен имеет вид

,

т. е. является наибольшим общим  делителем многочлена и его производной .

Формула (2) называется формулой Остроградского. Второе слагаемое правой части формулы (2) называется трансцендентной частью интеграла  ; это естественно, ибо из сказанного выше следует, что всякая первообразная дроби с точностью до постоянного слагаемого представляет собой линейную комбинацию логарифмов и арктангенсов от рациональных функций и, значит, как это можно показать, будет являться, вообще говоря, трансцендентной функцией. Первое же слагаемое, называемое алгебраической частью, может быть найдено чисто алгебраическим путем, если известны многочлены и (а значит, и ), т. е. без интегрирования каких-либо функций.

В самом деле, многочлен , являясь наибольшим общим делителем многочленов и , всегда может быть найден с помощью алгоритма Евклида, тем самым для отыскания многочлена не требуется знание корней многочлена известны, а значит известно его разложение, то ясно, что многочлен может быть сразу записан по формуле

.

Многочлен находится как частное от деления на .

Для отыскания же многочленов  и можно применить метод неопределенных коэффициентов. Поясним его. Обозначим степень многочленов через - степень многочлена – через ; тогда из равенства

  (3)

получим . В силу того, что дроби и , являясь суммой правильных рациональных дробей, также правильные, степени многочленов и соответственно не выше, чем и, значит, в этих многочленах число отличных от нуля коэффициентов соответственно не превышает и ; таким образом, число неизвестных коэффициентов равно . Дифференцируя первообразные, входящие в обе части формулы (2), получим (опуская для кратности обозначение аргумента) соотношение

 

Дифференцируя дробь , имеем

 

Заметим, что

 

где  многочлен. Действительно, если z – корень многочлена кратности λ, то, как известно z является корнем кратности λ – 1 для производной и однократным корнем многочлена , поэтому в этом случае z является и корнем кратности λ для многочлена . Отсюда следует, что многочлен нацело делится на многочлен , т. е. что R также многочлен. Итак, из формул (3)-(5) имеем

 

откуда

 

Многочлен P имеет степень не выше чем ( так как дробь – правильная). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменного x в обеих частях равенства (6), получим n линейных уравнений относительно n неизвестных. Выше было доказано (2), что многочлены и всегда (в частности, при некотором фиксированном многочлене  Q и при любом многочлене  P степени, не превышающей n-1) существуют; поэтому полученная система линейных уравнений имеет решение при любой правой части. Отсюда следует, что определитель этой системы не равен нулю, а значит, про рассматриваемую систему можно сказать, что она не только имеет решение, но и что оно единственно. Тем самым не только получен метод определения неизвестных коэффициентов в формуле (2), но и доказана единственность этого представления.

Формула (2) сводит, вообще говоря, задачу интегрирования любой правильной рациональной дроби к задаче интегрирования правильной  рациональной дроби, у которой знаменатель имеет только простые корни.

С помощью этой формулы  при интегрировании правильной рациональной дроби можно найти указанным выше способом алгебраическую часть интеграла , а затем проинтегрировать более простую рациональную дробь , если конечно, случайно не окажется, что тождественный нуль; в этом случае задача будет уже решена.

Описанный метод интегрирования рациональных дробей называется методом Остроградского . При использовании метода Остроградского для интегрирования рациональных дробей часто оказывается целесообразней записывать формулу Остроградского (2) в виде (1), так как в этом случае после нахождения неизвестных коэффициентов в подынтегральной функции ее сразу можно проинтегрировать.

Неизвестные коэффициенты в  формуле (1) находят методом, который  описан для формулы (2): следует продифференцировать  обе части равенства (1), привести к общему знаменателю все рациональные дроби, получившиеся в обеих частях равенства, приравнять коэффициенты у одинаковых степеней переменной x в многочленах, стоящих в числителях, и решить получившуюся систему уравнений.

 

§2. Применение формулы М. В. Остроградского при вычислении неопределенных интегралов.

Применим метод Остроградского для вычисления интеграла

 

Здесь

Общий наибольший делитель многочлена и его производной , имеет вид

 

Поэтому

 

(что, конечно, соответствует  формуле для  в равенстве (2)). Нам еще понадобится

 

Многочлены  и запишем с неопределенными коэффициентами так, чтобы дроби и были правильными:

 

Согласно формуле (2),

 

Поэтому

 

Произведя дифференцирование  и используя полученную формулу  для , будем иметь

 

Сократив первую дробь  в правой части равенства на множитель  и приведя все дроби к общему знаменателю, приравняем числители левой и правой части равенства:

 

Отметим, что это равенство  следует из формулы (6).

Приравняв коэффициенты при  одинаковых степенях переменной в обеих частях равенства, получаем следующую систему уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

Решая эту систему уравнений, находим: поэтому

 

 

§3. Практическое задание.

Вычислить интеграл

 

I способ:

Вычислим данный интеграл методом неопределенных коэффициентов

 

 

 

При имеем, что ;

При имеем, что ;

При находим, что ;

При получаем 1/27, из этого следует, что 1/27.

 

 

II способ:

Вычислим данный интеграл методом Остроградского

 

(

 

 

 

 

 

 

При имеем

При имеем отсюда получим

При получим, что

При получим, что

Значит, по формуле Остроградского мы получим:

 

 

 

В итоге мы получаем:

 

 

Литература.

1. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа: В 3т. [Текст]/Л.Д.Кудрявцев - М.:Дрофа, 2003 – 2004. – (Высшее образование: Современный учебник)-508 – 514 стр.
2. Давыдов, Н. А. Сборник задач по математическому анализу: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов [Текст]/Н.А. Давыдов, П.П. Коровкин,  В.Н. Никольский – М.:Просвещение, 1973 – 198стр. - №1049