Геометрический смысл уравнения первого порядка

Геометрический  смысл уравнения первого порядка.

Уравнение (3) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет  - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (3) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением  , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая:  .  
Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые. 

Для примера построим изоклины уравнения  . Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции  , соответствующие этим значениям С (т.е. прямые  ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С ( , где   - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох):   - ось Оу;  ;  ;   и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали.

4