Геометрическое изображение функции 2 переменных

1.Функции 2 переменных. Переменная z называется функцией 2 независимых переменных x и y, если некоторым парам значений x и y по какому-либо правилу или закону становится в соответствии определенное значение z.Примером функции 2 переменных является S прямоугольника у которого длина определяется переменной х, а ширина переменной у, S=z(x;y)=x∙y.Множество D пар значений х и у, которые могут принимать переменное х и у, называется областью определения функции 2 переменных или областью существления функций. D,E.Множество Е значений ф.z принимаем.Областью применения называется областью значения ф.z.При этом переменные х, у называется независимым аргументом ф.z. z=ƒ(х;у)=z(х;у)-равносильны. Если область определения ф.z лежит на плоскости ОХУ декартовой прямоугольной сист. координат, то множество значений ф.z представляет поверхностную соответствиями значениями аппликаты z.При этом обл.определения м.б. ограничена некоторыми линиями, которые называются границами области. Точки обл. определения, не лежащие на границе наз. внутренними точками. Обл. опред. с присоединенной к ней границей называется замкнутой обл. опред. D примером замкнутой обл. опред. является круг включенный в себя окружность.Геометрическое изображение ф.2 переменных. Ф. 2 переменных допускает геометрическое истолкование. В каждой точке обл.определ. D М₀(Х₀;У₀)обл.опред.D в декартовой прямоугольной сист. Координат соответствует точка М(Х₀;У₀;Z₀) где z₀=ƒ(х₀;у₀) где z₀-аппликата т. М₀. Совокупность всех т.М представляет некоторую поверхность. Вид которой определяется законом установленным соответствием между парой независимых переменных х и у переем. Z. например: z=, то обл. опред.ф.z-будет круг. D: х²+у²=1,а обл.значения будет верхняя часть сферы:Е:х²+у²+z²=1. Геометрическая интерпретация ф.2 переменных z=. Можно задать 3 способами: в виде табл.; в виде графика и аналитическим способом.Линии уровня. При графическом способе заданная ф.2 переменных часто используются понятия линии уровня. Линии уровня-линии, представляющие собой множество т. х и у, в кот. ф. z=ƒ(х;у). принимает одно и то же значение уравнения. Линии уравнения имеет вид: z=ƒ(х;у)=с, с-постоян. Придавая пост. с различные значения, можно поставить семейство лин. урав., которая полностью характеризует ф.2 переменных и позволяет находить ее значение. Если т. с координатами х и у находится на ЛУ, то значение фун.считывается с лин., если т. находится в промежутке между линиями, то будет 2 ближайшие соседние линии между кот. лежит т. и методом интегрирования находится знач.ф. т.Пример: z=х²+у²; х²+у²=с.

2.Предел функции 2 переменных. Введем понятие окрестности т. М₀(Х₀;У₀). Множество всех т. М с координатами х и у в плоскости координаты, кот. удовлетворяют неравенству-окрестность т.М₀. окрестности т.М₀ представляет собой круг с центром т.М₀ радиус которого = Пусть ф. z=ƒ(х;у) определена в некоторой окрест. т. М₀.за исключением М-м.б. самой т. М₀. Тогда число А называется lim ф. z=ƒ(х;у)при хх₀ и уу₀, если для любого (+) числа эпсилон-ε>0, существует такое (+)число δ>0, что для всех значений х и у, х и у удовлетворенных неравенство . Выполняется неравенство:. Если lim существует, то он зависит от пути по которому т.М стремится к т.М₀причем число  таких направлений или путей бесконечно велико. Геометрический смысл в lim функции переменной состоит в следующем: какого бы ни было (+) числа ε>0 всегда найдется такая определенность δ – окрестность в т. М₀, что во всех ее т. М аппликаты z соответствующих т. поверхностей z=ƒ(х;у) отличается от числа А меньше, чем на ε.Непрерывность функции 2 переменных. ф. z=ƒ(х;у) или z= ƒ(М) называется непрерывной в т. М₀, если выполняются след. 3 условия: функция определена в этой т. М₀ и некоторой ее окружности δ; существует lim ф.при М lim ƒ(х;у); lim ф.при М = ф.в т. М₀ lim ƒ(М) = ƒ(М₀). Функция z=ƒ(х;у)непрерывна в области D, если она непрерывна  в каждой т. этой области. Т. в которых нарушается условие непрерывности, называется т. разрывов функции 2 переменных, точки разрыва могут образовать линии разрыва арифметической операцией над непрерывными функциями и вычисление сложной ф. из непрерывных ф. приводит также к непрерывным ф. Областью наз. множество т. обладающих свойствами открытости и связанности. Свойства открытости сост. в том, что каждая т. подлежит области вместе с некоторой ее окрестностью, т.е. область открыта, если границы не подлежат области. Свойства связанности означают, что любые 2 т. области можно соединить непрерывными линиями, которые будут целиком лежать в этой области т.N наз. граничен-й т. обл. D, если она не принадлежит обл. но в любой ее окрестности лежат т. области. совокупность граниченных точек образуют границу области.

3.Частная производная ф. 2 переменных. Пусть задана ф. z=ƒ(х;у), т.к. х и у независимые переменные, то одна из них может изменится, а другая может сохранять свое значение. Дадим переменных х приращение ∆х; х+∆х, остаться при этом переменной у постоянной. Тогда ф. z получит приращение ∆z=ƒ(х+∆х;у)-ƒ(х;у),который называется частным приращением z по х. Аналогично приращаем переменную у+∆у оставляем переменную х неизменной, тогда ф.z получит приращение ∆_УZ= ƒ(у+∆у;х)-ƒ(х;у), кот. назыв. частным приращением ф.z по у. полное приращение ф.z будет иметь вид: ∆z=ƒ(х+∆х;у+∆у)-ƒ(х;у). если существует lim отношения частного приращения ф.z по х к приращению ∆х при ∆х, то назыв. частной производной по х обозначается так - частная производная по х. Аналогично если существует lim отношения частного приращения по у к приращению ∆у при ∆у, то этот lim называется частной производной по у. Таким образом частная производная функции нескольких переменных определяется как производная от функции по одной переменной, при условии, что остальные переменные остаются неизменными. Пример вычисления частной производной функции: .Геометрический смысл частных производных фун. 2 переменных. Геометрической ф.2 переменных м.б. изображена поверхностью z=ƒ(х;у). тогда из геометрического смысла производной функции одной переменной следовательно, что частная производная , которой составляет касательная проведенная по графику ф. z=ƒ(х;у) в т. М₀ с положительным направлением в оси ОХ. Аналогично , составляет касательная проведенная графиком ф.z.

4.Полное приращение и полный дифференциал ф.2 переменных. Пуст ф. z=ƒ(х;у) определена и направлена в окрестности т.М(х;у) и в самой т. Тогда полное приращение ф.z м.б. записана так: ∆z=ƒ(х+∆х;у+∆у)-ƒ(х;у), учитывая что ф. дифференцирована в т.М полное приращение можно представить ∆z=А∙∆х+В∙∆у+α∙∆х+β∙∆у(1), где α=α(∆х; ∆у) и β=β(∆х; ∆у) при ∆х и ∆у. α и β. Сумма первых двух слагаемых полной прев-ии ф. определенной формы (1) называется главной частью приращения ф. Главная часть приращения. Функция линейная относительно приращенная сумма ∆х и ∆у называется полный дифференциал ф.2 перем. dz= А∙∆х+В∙∆у где ∆х=dx и ∆у= dу. dz= А∙dх+В∙dу, где А и В. -полный дифференциал ф.2.п. (2). Теорема: достаточные условия дифферентности условия ф.2.п. Если ф. z=ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные и , в т. М(х;у), то она дифференцируема в этой т. и ее полный дифференциал определ. по формуле(2). 

5.Применение полного дифференциала для приближенных вычислений. Пусть ф. z=ƒ(х;у) определена и имеет непрерывности в окрестностях т. М₀(х;у), тогда при достаточно малых приращениях |∆х | |∆у | справедливы следующие соотношения ∆z. ƒ(х₀+∆х;у₀+∆у)-ƒ(х₀;у₀); эта формула использ-я для вычислений. Пример:

6.Частные производные высших порядков. Частная производная ; называются частными производными первого порядка, если эти частные производные представляют собой непрерывные функции переменных х и у, то они м.б. продифференцированы, т.е. м.б. найдены частные производные 2 переменных. Они определяются и обозначаются следующим образом. Частные производные 2 порядка. ;;;. аналогично м.б. определены частные производные 3,4 и более высоких порядков. Теорема Шварца: если частные производные высших порядков непрерывны, то смешанные производные первого порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования равны между собой. т.е. .Дифференциал высших порядков. Определяем формулой dz=-называется дифференциалом первого порядка. Если ф.z=ƒ(х;у) имеет в окрестности т.М непрерывные производные 2 порядка частные, то существует дифференциал 2 порядка, который будет определятся по форм.: d(dz) = . . Аналогичным образом можно вычислить дифференциалы 2, 3 и т.д. порядков. Для дифференциала энного порядка формула будет такой: .

7.Производная сложной функции нескольких переменных. Пусть ф. z=ƒ(х;у) явл. ф.2 переменных х и у, кот. в свою очередь сами являются функцией переменной t. Где z= ƒ(х;у); х=х(t) и у=у(t). Z  является сложной ф.переменной t, а х перемен. и у наз. промежуточным аргументом. переменная t наз. независимым аргументом. Z=. Если z=ƒ(х;у) дифференцируемая в т.М принадлежащая обл. D. М(х;у)а ф. х(t) и у(t) дифференцируема также в этой т., то производная сложной функции z вычисляется по формуле: -общий случай первой переменной. Частный случай: если у=у(х), тогда Z=. . Если же переменная х и у сами явл функциями 2 переменных, т.е. у=у(U;V), х=х(U;V). Z=. ;;Пример: z= ln(х²+у²), где х=; у=.

8.Дифференцирование неявной функции  нескольких переменных. ф. z=ƒ(х;у) задано неявно, если она задается уравнением Ƒ(х,у,z)=0, из которого z нельзя выразить arctg+хуz-lnz=0. Для того чтобы найти частные производные и продифференцируем Ƒ(х,у,z) по этим переменным (0), где у явл. постоянной, производная от 0 дает 0. . или . Аналогично найдем частную производную по у: (0), х считается постоянной; ; или .

9.Производная по направлению. Пусть ф.z=ƒ(х;у) определена в окрестности в некоторой т. М и пусть длина некоторое направление, которое задается -единичным вектором. = + ; , α и β-углы, которые образуют вектор малое с осями координат. Будем применят т.М в направление длины , задав приращение переменной х и у. х+∆х и у+∆у. тогда т.М – М₁ (х+∆х;у+∆у) при этом ф.z получит приращение ∆z=ƒ(х+∆х;у+∆у)-ƒ(х;у). Можно показать, что в этом случае ∆х, ∆у. e, тогда приращение ф.z в направление l определяется выражением - приращение ф. по направлению длины. Тогда производной по направлению длины наз. предел отношения приращения ф. в этом направлении к величине перемещения, т.е.. Производная по направлению длины, характеризует скорость изменения ф. по направлению длины.Градиент. Градиентом ф.2 переменных (набла)   наз. ф. z=ƒ(х;у) наз. вектор с координатами . = , градиент ф.z. Градиент ф. т. характеризует направление максимальной скорости изменения ф. в этой т. Можно показать, что производная по направлению представляет собой скалярное произведение градиента ф. и единичного вектора .. Зная градиент ф. в т. можно строит ЛУ.

10.Касательная плоскость и нормаль  к поверхности. Пусть ф.z=ƒ(х;у) дифференцируема в некоторой т.М₀ с координатами. Для ф.2 переменных геометрическая интерпретация явл. поверхность. Уравнение для касательной плоскости исходя из уравнений касательных линий l₁ и l₂. z-z₀ =; z-z₀ =; z-z₀ =. Где,.z-z₀ =-уравнение касательной плоскости в т.М. прямая проходящая через т.М перпендикулярна касательной плоскости S-называется нормалью к поверхности в т. Используются условия перпендикулярности прямой и плоскости получим каноническое уравнение нормали:_{. Если касательная плоскость задана не явно, т.е. виде уравнения такого.} Ƒ(х,у,z)=0, то уравнение нормали будет иметь такой вид: _.

11.Экстремум функции 2 переменных. Пусть ф.z=ƒ(х;у) определена в некоторой области Д и т.N(х;у) принадлежит Д. т.М₀ –наз. т.максимума ф.z=ƒ(х;у),если существует такая окрестность т.М, что для каждой т. с координатами х и у из этой окрестности, для которой х не равно х₀ и у не равно у₀. Выполняется неравенство ƒ(х₀;у₀)>ƒ(х;у).определяется т. минимума. т.М₀(х₀;у₀) наз. т минимума z=ƒ(х;у), если существует такая окрестность М₀(х₀;у₀), что для всех т. х и у, х не = 0 и у не = 0. Выполняется такое неравенство ƒ(х₀;у₀)<ƒ(х;у) т. минимума функции. Значение ф. в т. максимум и минимум наз. максимумами и минимумами функциями. Максимумами и минимумами ф. имеют общие названия экстремумами ф. т. Экстремумами ф-ии могут лежать только во внутренних т. области. макс и мин носят локальный характер.Необходимые и достаточные условия экстремума. Теорема 1:необходимые условия экстремума. Если в т.М₀(х₀;у₀) дифференцируемая ф. z=ƒ(х;у) имеют экстремумом, то ее частные производные =0 этой т. геометрически равенство о частных производных означает, что касательная плоскость в т. М₀(х₀;у₀) параллельна плоскости ОХУ. Т. в которой частные производные равны 0, наз. стационарными точками. Точки в кот. частная производная не существует наз. критическими точками. В критических точках ф. может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство о частных производных является лишь необходимым условием экстремума, но не явл. достаточной. Теорема 2:достаточные условия экстремума. Пусть т.М₀(х₀;у₀) частные производные ф. существуют и равны 0, в некот. окрестности в т.М₀(х₀;у₀), частная производная непрерывна до 2ого порядка включительно. Введем обозначения для частных производных: ;;тогда можно написать определитель . Если , то z=ƒ(х;у) в т.М₀(х₀;у₀)имеют экстремум если в этой т.А<0,то мак, если А>0,то минимум. Если, то z=ƒ(х;у) в т.М₀(х₀;у₀) экстремума не имеет. Если z=0, то необходимы дополнительные исследования экстремума в этой т. может иметь, и не иметь в т.

12.Наибольшее и наименьшее значения ф.2 переменных в замкнутой области. Пусть ф. z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Д, тога она достигает в некоторых т. Д своего наибольшего и наименьшего значения. Эти значения могут располагаться как и во внутренних т. Д, так и в т. на границах области. для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение необходимо воспользоваться правилами исследуемой функции: найти все критические т. всех функций принадлежащей Д и вычислить в т. значение функции; найти наибольшее, наименьшее значение ф. на границе Д; сравнивать все найденные значения ф. и выбрать из них наибольшее и наименьшее значение. Пример: найти наибольшее и наим. знач. ф. z=х²у+ху²+ху в замкнутой обл. Д огранич. минимума. у=1/х, х=1, х=2, у=-3/2.

13.Дифференциальные уравнения. Дифференциальными уравнениями наз. уравнения, связывающие независимую переменную искомую функцию и производные этой функции. Решением дифферен-ого уравнения наз. ф., в котором при постановке уравнения превращает его в тождество. Если искомая ф. зависит от той переменной, то дифферен. уравнение наз. обыкновенным. Если же искомая ф. зависит от нескольких переменных, то дифферен. уравнение наз. дифферен-ым уравнением частным производным. Наивысший порядок производной входящий в дифферен. уравнение наз. порядком ДУ. - обыкновенное ДУ 2 порядка; -обыкновенное ДУ 3 порядка. -ДУ в част. производных первого порядка. Процесс решения дифференциального урав. наз. его интегрированием. А график решения ДУ наз. график кривой.