Геометрическое приложение определенного интеграла

Министерство  образования и науки РФ 
федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение 
Высшего профессионального образования 
«Волгоградский государственный университет» 
Урюпинский филиал 
Факультет социально-гуманитарных и экономических наук 
Кафедра экономики и менеджмента 

ТВОРЧЕСКАЯ  РАБОТА

По дисциплине «Математический анализ»

На тему «Геометрическое приложение определенного  интеграла»  
 
 

 
Выполнила: 
студентка 1 курса 
очного отделения 
специальности «Экономика» 
группы ЭУ-111 
Зотова Н. В.  
 
 
Проверила: 
Канд. пед. наук, доцент

Матвеева  Т. В. 
 
 
 

 
 
Урюпинск 2012 г. 
 
 
 

    О мир, пойми! Певцом –  во сне –

    открыты

    Закон звезды и формула  цветка.

    М.Цветаева

    Интеграл (от лат. Integer - целый ) - одно из важнейших  понятий математики, возникшее в  связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

    Себестоимость продукции – один из важнейших  факторов, влияющих на прибыльность предприятия. Поэтому в сложившихся условиях кризиса, когда происходит ослабление реального сектора экономики, применение механизмов снижения уровня себестоимости необходимы для многих предприятий.

    Допустим, некое предприятие занимается выпуском ювелирных украшений. Так вот, по модным тенденциям текущего периода  особенно популярны становятся формы  сережек в виде лепестка и треугольника. Конечно же, данное предприятие не может проигнорировать желание потребителей. Но в то же время фирма может выпускать серьги только одной определенной формы. В этом случае будет не маловажным определить площадь поверхности украшения, так как в данном случае она напрямую влияет на стоимость изделия, поскольку украшения покрываются драгоценными металлами.

    Итак, в начале вычислим площадь поверхности  фигуры в виде лепестка:

    Найдем  точки пересечения графиков  и . Для этого решим уравнение . Получаем  и . При этом  и  соответственно. Таким образом, точки  и  – точки пересечения данных графиков (рис. 1).

    Рисунок 1

    Из  рисунка видно, что площадь  , где  – площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком , а  – площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком . Поэтому

     .

    Ответ: . ►

    Затем, вычислим площадь другой фигуры - треугольник 

    Чтобы найти площадь треугольника OAB, достаточно найти площадь треугольника OAC.

    Итак 

    S_OAC= ∫2xdx=2∫xdx=x²│=0, 25-0=0, 25

    S_OAB =2 S_OAC =0, 5( кв. ед.)

    Становится  понятно, что площадь поверхности  лепестка несколько меньше площади поверхности треугольника( 1/3<1/2). Следовательно, себестоимость изделия при выбранной фигуре может существенно снизаться при большом объеме выпуска продукции.

    Интеграл - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

    Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности.

    Также определенный интеграл используется для  изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.