Интегральный косинус

 

1. О "неберущихся" интегралах

При вычислении производной, наличие формул для производной  суммы, разности, произведения, частного и композиции - всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора - приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией.

При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной  произведения, частного и композиции нет. Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно "взять  интеграл", то есть выразить некоторую  первообразную для подынтегральной  функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока что не придумано способа это сделать, а в принципиальной невозможности: никакая из первообразных в случае "неберущегося" интеграла никаким  образом не может быть выражена как  комбинация элементарных функций, связанных  знаками арифметических действий и  знаками композиции.

Не следует думать, что  если такое представление невозможно, то и функции такой нет: можно  считать, что для её выражения  просто не хватает запаса рассматриваемых  операций или запаса рассматриваемых  исходных функций, и их надо расширить, то есть выйти за рамки множества  функций, называемых элементарными. В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными.

 К специальным функциям  относятся и многие первообразные  для элементарных функций, причём  часто не столь уж "сложной"  структуры. Интегралы, выражающиеся  через такие первообразные, называются  неберущимися. Итак, интеграл не берётся, если функция F(x) не является элементарной.

 

2. Интегральный синус

2.1 Определение интегрального синуса

Рассмотрим интеграл вида                                                   (1)

Доопределим подынтегральную  функцию  , полагая её равной 1 при x=0. В соответствии с тем, что (первый замечательный предел), доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразных F(x) выделим ту, для которой F(0)=0.

Эта неэлементарная функция  называется интегральным синусом и обозначается Si(x).

Пусть функция f(x) определена на полуоси [a,∞) и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при b→+∞ называется несобственным интегралом функции f(x) от a до +∞ и обозначается .

Тогда . Если этот предел существует и конечен,то интеграл называется сходящимся; иначе он является расходящимся.

Согласно признаку Дирихле сходимости несобственных интегралов:

Несобственный интеграл сходится, если

1. Функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a,b] (b>a) и интеграл оказывается ограничен

 

2. Функция g(x) монотонно стремится к 0 при

 

Положим f(x)=sin x, g(x)=. Условия 1-2 выполнены,так как и функция монотонно убывая, стремится к 0 при .

Тогда можно сказать, что существует сходящий несобственый интеграл .

Таким образом, интегральный синус - специальная функция, определяемая для действительного x>0 равенством

                                                             (2)

График функции Si(x) изображен на рис.2.

Рис. 2. Интегральный синус.

Иногда используют обозначение .                   (3)

Функция si(x) принимает действительные значения при всех действительных значениях x. Эта действительная функция si(x) получается, если для соответствующего определяющего интеграла путь интегрирования взят вдоль действительной оси, начиная с +∞.  Имеем:

 

  

(4)

Предельные значения рассматриваемой  функции при больших и малых  значениях аргумента даются формулами:

Si (∞) =

si (∞) = 0

 

2.2 Интегральный синус как функция родственная интегральной показательной функции

 

Интегральная показательная  функция Ei(x) определяется как интеграл,для действительного :

 

(5)

взятый по произвольному  пути L в плоскости t, разрезанной  вдоль положительной вещественной оси (рис.1).

Рис. 1

При х>0 подинтегральная  функция имеет бесконечный разрыв в точке х=0 и понимается в смысле главного значения этого интеграла:

 

 (6)

И функция представляется в виде рядов

 

   

(7)

где =0,5772156649… - постоянная Эйлера.

 

Если аргумент интегральной функции Ei(z) есть мнимое число z = xi  (x> 0) рассматриваемая функция может быть выражена через две вещественные функции Si(x) и Ci(x), известные в литературе под названием интегрального синуса и интегрального косинуса.

 (8)

 

2.3 Разложение в ряд

 

Функция Si(x) может быть представлена рядом простого вида. Разложение Si(x)

получается путем подстановки в (2) степенного ряда для sinх и почленного интегрирования.

Чтобы представить степенной  ряд для sin x, воспользуемся теорией рядов Тейлора:

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

 называется рядом Тейлора функции в точке .

Теорема

Пусть f(x) имеет n+1 производную в некоторой окрестности точки а,U().

Пусть .

Пусть p-произвольное положительное число,тогда: точка при x < или при x >: 

Получаем:          

(9)

Область сходимости ряда

Теперь применим к формуле (9) почленное интегрирование:

Теорема: Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

Интервал сходимости ряда - интервал (-R,R) ,где существует такое R>0, что ряд сходится при всех значениях x, для которых |x|<R и расходится при всех x, для которых |x|>R. 

R-радиус сходимости ряда. Предположим, что все коэффициенты ряда отличны от нуля и существует предел . Тогда радиус сходимости находится по формуле .

 

В итоге, мы получим формулу разложения в ряд интегрального синуса:

(10)

На основе полученного  разложения в степенной ряд видно, что при малых значениях переменной x функция Si(x) практически совпадает с функцией х. Этот ряд применяется для практического вычисления интегрального синуса, причём в соответствии c теоремой Лейбница погрешность будет меньше модуля последнего взятого члена этого ряда.

Теорема Лейбница (признак Лейбница) — теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем.

Формулировка:

Знакочередующийся ряд  сходится, если выполняются оба условия:

    

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить  погрешность вычисления неполной суммы  ряда:

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда R_n=S-S_n будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

 

2.4 Интегральный синус, выраженный через

вспомогательные функции

Интегральный синус имеет следующие вспомогательные функции:

 

                                                            

(11)

где - интегральный косинус.

Согласно формулам (11) интегральный синус выражается через вспомогательные функции следующим образом:

 

(12)

 

2.5 Свойства интегрального синуса

 

Интегральный синус симметричен по следующему правилу:

 

(13)

Интегральный синус имеет асимптоты:

 

Док-во:   

Этот интеграл известен, как интеграл Дирихле (Петер Густав Лежен Дирихле(1805-1859)). Неожиданный побочный продукт этого интеграла получается заменой sin x на sin kx, где k константа, а затем сделать замену u=kx. Новый интеграл имеет значение или , в зависимости от того, положительно или отрицательно k (в последнем случае верхний предел равен ,так что дальнейшая замена v=−u приведет к . Таким образом, мы имеем следующий результат:

 

 

 

 

(14)

Чтобы найти экстремумы функции, продеффиринцируем ее:

 

Si(x) достигает экстремума в точках