Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представление решений  однородного линейного уравнения  второго порядка в виде степенных  рядов.

Пусть дано уравнение

 

в котором коэффициенты и являются голоморфными функциями в окрестности точки т.е.

 

причем ряды справа сходятся в области 

Тогда, согласно теореме  Коши существует единственное решение, голоморфное, по крайней мере, в той же окрестности точки и принимающее в этой точке любые наперед заданные начальные значения и , т.е. решение вида

 

причем  ряд справа заведомо сходится в области  а и -произвольные наперед заданные числа.

В приложениях  чаще всего  встречаются случаи, когда коэффициенты уравнения (1) являются либо полиномами, либо отношениями полиномов.

В первом случае мы получаем решение в виде степенного ряда, сходящегося при всех значениях  , во втором случае радиус сходимости степенного ряда, представляющего решение не меньше от точки до ближайшего из точек, в которых знаменатели коэффициентов уравнения, рассматриваемые как функции комплексной переменной , обращаются в нуль.

Коэффициенты  в формуле (3) определяются единственным образом, если заданы  и . Их можно определить, например, подстановкой ряда (3) в уравнение (1) и приравниванием нулю коэффициентов при различных степенях ,в левой части полученного равенства.

Обычно строят фундаментальную  систему решений , нормированную в точке , т.е.

 

после чего общее решение  получают по формуле

 

Представление решений  в окрестности особой точки в  виде обобщенных степенных рядов.

Если  есть особая точка уравнения

 

то, в общем случае, решение  тоже не будет голоморфными ни в какой окрестности этой точки.

Например, уравнение Бесселя

 

имеет особую точку . Это уравнение имеет следующие линейно независимые частные решения:

 

Ни одно из этих частных  решений не голоморфно в окрестности  особой точки , т.е. не представимо в виде ряда по целым положительным степеням . Но эти решения представимы в окрестности особой точки в виде рядов

 

или

 

которые  отличаются от обычных  степенных рядов лишь и множителями  вида . Такие ряды называются обобщенными степенными рядами.

Вообще обобщенным степенным  рядом по степеням разности  , называется ряд вида

 

где показатель есть некоторое постоянное число, а ряд

 

есть сходящийся степенной  ряд по степени , причем коэффициент отличен от нуля.

Поставим вопрос: какой вид должны иметь коэффициенты уравнения (6) в окрестности особой точки , чтобы хоть одно из его частных решений был представимо в окрестности этой особой точки в виде обобщенного степенного ряда по степеням  , т.е. в виде

 

 

Теорема. Для того, чтобы уравнение (6) имело в окрестности особой точки хоть одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда (13), достаточно, чтобы это уравнение имело вид

 

где

 

суть сходящиеся степенные  ряды, причем коэффициенты не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка не особая и существует два линейно независимых решения, голоморфных в окрестности точки . При этом, если ряды (15), входящие в коэффициенты уравнения (14), сходятся в области , то и ряд (12), входящий в решение (13), сходятся, по крайней мере, в той же области .

Указание: показатель, коэффициенты.

Число должно быть корнем уравнения

 

которое называется определяющим уравнением в особой точке

Обозначим корни  уравнения (16) через , причем считать, что

Если корни определяющего  уравнения различны, но их разность не равна целому положительному числу, то мы найдем два линейно независимых частных решения вида(13):

 

 

Коэффициенты  определяются подстановкой , в уравнение (14), после предварительного умножения обеих частей его на . При этом остаются произвольными.

Если есть целое положительное число, то мы можем построить частное решение, соответствующее корню :

 

Что касается второго частного решения, то, используя формулу

 

можно показать, что оно  имеет вид

 

При этом может получиться, что , и тогда мы получим второе решение тоже в виде обобщенного степенного ряда.

Наконец, если , то одно частное решение имеет вид (18). А второе частное решение, так же как и в предыдущем  случае, получается в виде:

 

но здесь всегда

Таким образом, в случае равных корней определяющего уравнения, второе частное решение обязательно  содержит

Простейшим примером решения  уравнения типа (14) является уравнение  Эйлера

 

Уравнение Бесселя. Рассмотрим уравнение Бесселя

 

или

 

К интегрированию этого уравнения  приводятся многие задачи астрономии, физики и техники.

Точка является особой точкой уравнения (23). Легко увидеть, что уравнение Бесселя есть частный случай рассмотренного выше уравнения (14), причем Так как здесь то определяющим уравнением в особой точке будет

 

Если , то это уравнение будет иметь два различных корня:                 . Будем считать В нашем случае . Поэтому в силу предыдущего пункта мы можем утверждать:

1. Если   не равно целому положительному числу, т.е. , так что не является ни целым( положительным) числом, ни половиной нечетного числа, то существует два линейно независимых частных решения в виде обобщенных степенных рядов.
2. Если , где целое положительное число, то существует частное решение в виде обобщенного степенного ряда, соответствующее большему корню. Вопрос о существовании второго частного решения такого же вида требует специального рассмотрения.
3. Если , так что , то существует только одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда, который в данном случае вырождается в обычный степенной ряд. Второе частное решение обязательно содержит

После этого предварительного анализа перейдем к построению решений  уравнения Бесселя.

Будем искать решение уравнения  Бесселя в окрестности особой точки  в виде обобщенного степенного ряда

 

Подставляя (26) в (23),имеем :

 

 

Сокращая на и объединяя вместе все суммы, кроме третьей, получим:

 

Приравниваем нулю коэффициенты при различных степенях :

 

Построим решение, соответствующее  корню 

Полагая в равенствах (29) , имеем:

 

или

 

Отсюда:

 

 

Так как , то при всех . Полагая в формуле (33) выразим через . Имеем:

 

 

 

 

 

Подставляя найденные  значения коэффициентов в формулу (26) и полагая , получаем:

 

Ряд справа, согласно теореме(см. приложение), сходится при всех значениях и следовательно, функция (35) и представляет собой решение уравнения Бесселя при любом выборе числа .

Перепишем (35) в виде:

 

Выберем теперь так, чтобы коэффициенты ряда справа имели наиболее простой вид. Положим:

 

где

 

есть так называемая  гамма-функция (см. приложение).Подставляя выбранное значение в формулу (36) и пользуясь известным свойством гамма-функции:

 

мы получим искомое  первое частное решение уравнения  Бесселя в виде

 

Функция называется функцией Бесселя первого рода го порядка.

В частности, функция Бесселя  первого рода нулевого порядка , т.е. первое частое решение уравнения

 

имеет вид

 

ибо Г(

Если будем искать второе частное решение уравнения (23), соответствующее  показателю тоже в виде обобщенного степенного ряда, то вместо формул (30), (32) и (33), мы будем иметь:

 

 

 

Из этих формул ясно, что  если  и , т.е. если не равно половине нечетного числа и не является целым числом, то все коэффициенты опять выразятся единственным образом через произвольный коэффициент .

Полагая в этом случае

 

мы получим второе частное  решение уравнения Бесселя в  виде

 

Функция обращается в бесконечность в особой точке .

В случае мы встретим затруднение в определении коэффициента . Формула (44) даст . Положив , мы получаем второе частное решение в виде (47), так что второе частное решение не будет содержать .

Таким образом, если не равно целому числу, то общее решение уравнения Бесселя имеет вид

 

Рассмотрим теперь случай, когда  является целым числом.

Здесь мы встретим затруднения  при определении коэффициента . Формула (45) дает , так как . Следовательно, второе частное решение должно содержать логарифмический член.

Заметим, что решение (47) имеет  смысл и в случае целого , но оно уже не будет тогда линейно-независимым с решением (40), а именно если принять во внимание, что

 

то нетрудно показать, что 

 

В аналитической теории дифференциальных уравнений доказывается, что в качестве второго частного решения можно взять функцию

 

где C =0,5772157 …- постоянная Эйлера. Эта функция называется функцией Бесселя второго рода порядка. Функция очевидно обращается в бесконечность в особой точке . Иногда оказывается целесообразнее в качестве второго частного решения рассматривать функцию . Эта функция называется функцией Вебера порядка.

Общее решение уравнения  Бесселя в случае, когда  есть целое положительное число, имеет вид

 

В случае , т.е. для уравнения Бесселя вида (41) в качестве второго частного решения можно взять

 

Функция , очевидно, обращается в бесконечность в особой  точке Иногда вместо берут функцию . Эта функция называется функцией Вебера нулевого порядка.

Общим решением уравнения  Бесселя в случае является

 

Вернемся  теперь к уравнению  Бесселя:

 

общее решение которого найдено(см. приложение)  при помощи приведения (55) к уравнению с постоянными коэффициентами. Проинтегрируем сейчас это уравнение согласно изложенной выше общей теории интегрирования уравнения Бесселя.

Так как здесь , т.е. и не равно целому числу, то оба частных решения не содержат логарифма и получаются по формулам (40) и (47). Имеем:

 

 

Так как Г, то используя формулу (39), получим

 

 

 

 

…………………………………………………………………………………..

 

 

Поэтому

 

 

В рассмотренном случае функции  и выразились через элементарные функции. Вообще можно доказать, что функции Бесселя со значком, равным половине нечетного числа, выражаются через элементарные функции.

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение.

Гипергеометрическим дифференциальным уравнением или уравнением Гаусса называется уравнение вида

 

где постоянные числа, которые мы будем предполагать вещественными. Здесь, особые точки.

Запишем уравнение (58) в виде

 

Замечая, что 

 

перепишем уравнение (59) так

 

или

 

Это уравнение есть частный  случай уравнения (14), причем здесь , так что определяющее уравнение в особой точке в нашем случае имеет вид

 

Его корнями будут . Предположим , что разность этих корней не является целым числом, т.е. не равно ни целому числу, ни нулю. Тогда, согласно представлению решений в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядов, в окрестности особой точки можно построить два линейно независимых частных решения в виде обобщенных степенных рядов

 

 

Построим сначала частное  решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения, т.е. решение, голоморфное в окрестности  особой точки .

Итак, будем искать частное решение уравнения (58) в виде

 

Подставляя в (58), получим:

 

 

Приравниваем к нулю свободный  член:

 

Отсюда:

 

Полагая , получим:

 

Приравнивая  нулю коэффициент при , найдем:

 

 

откуда 

 

или

 

так что 

 

Отсюда:

 

 

 

Следовательно, искомое частное  решение имеет вид

 

 

Ряд справа называется гипергеометрическим  рядом, так как при  он превращается в геометрическую прогрессию

 

Согласно теореме (…), ряд (71) сходится при , так же, как и ряд (72), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (58).