Интерполяция по методу оценочной функции

Интерполяция  по методу оценочной функции

Линейной  функции.

Осуществить линейную интерполяцию между заданными точками.

Составим уравнение  прямой, проходящей через т. О и  т. К.

(1) (2)

Выполним шаг по оси  Х, т.е. перейдем в т.1 при этом X₁=X₀+1; Y₁=Y₀

подставляя выражение (2) получим:

выполним шаги по оси  У, т.е перейдем в т.2, при этом: X₂=X₀+1, У₂=У₀+1. И подставляя в (2) получим:

Анализируя значение одиночной  функции можно определить, что  ее значение под линией <0, на линии =0, а выше линии >0. Можно предположить следующее правило:

Если ввести обозначения F_x=-A, F_y=B, то выражения (2) можно представить:

где n, m- число элементарных шагов по оси Х и У соответственно.

Погрешность интерполяции оценивается расстоянием по нормали от текущего значения координат до теоретической прямой. Максимальное значение погрешности возникает в случае, когда наклон прямых равен 45⁰

A=B=1

Пример

Выполнить линейную интерполяцию между т.(0,0), (8.3)

Таблица

n	m	nFx	mFy	F
0	0	0	0	0
1	0	-3	0	-3
1	1	-3	8	5
2	1	-6	8	2
3	1	-9	8	-1
3	2	-9	16	7

 

Круговой функции

Уравнение круга X²+У²=R²

Одиночная функция можно  сформировать

   (3)

Выполним шаг по Х

X₁=Х₀+1

У₁=У₀

Сделаем теперь шаг по оси У в  т. X₂=X₁, У₂=У₁-1.

где F_x -оценочная функция при шаге по Х, F_у- оценочная функция при шаге по У.

Т.о. можно записать в общей форме

Значение оценочной  функции на теоретической кривой F=0, за пределами круга F>0, внутри круга F<0.

Пример

Интерполировать круг радиусом R=4

 

 

 

 

 

 

 

 

	i	Xi	FXi	j	Уj	FУj	Fij
0	0	0	0	0	4	0	0
1	1	1	1	0	4	0	1
2	1	1	1	1	3	-7	-6
3	2	2	4	1	3	-7	-3
4	3	3	9	1	3	-7	2
5	3	3	9	2	2	-12	-3

 

В рассмотренном примере  и все предыдущие выкладки выполнены  для ведущей координаты Х. Интерполяцию можно осуществить, начиная с  любой точки окружности.

Интерполяция по примеру ЦДА

В основе интерполяторов этого принципа лежит принцип численного интегрирования по формуле прямоугольников.

Необходимо интегрировать  функцию У(х) для этого необходимо вычислить интеграл вида: , т.е. найти площадь, заключенную между кривой, осью Х и ординатами т. Х₀ и Х_n. Основание прямоугольника равно , тогда при достаточно малом площадь прямоугольника , а значение интеграла будет выражаться формулой

                                           (1)

где - погрешность формулы численного интегрирования.

 

 

Структура ЦДА по выражению (1) будет иметь вид

 

Сумматор СмУ будет содержать  текущее значение подынтегральной  функции, а сумматор См значение определенного интеграла. При приращении См выделяет значение приращения.

Рассматриваемая структура существенно  упрощается, если принять  , что характерно для ЧПУ использующего унитарные коды.

Тогда формула (1) примет вид:

,

которая реализуется  структурой.

 

 

Сигналы переполнения на выходе См и являются приращениями

Линейная интерполяция на ЦДА

Линейный интерполятор реализует следующие зависимости:

где t - импульса характеризующие время в ЧПУ.

Продифференцировав эти  уравнения по t получим:

следовательно, значение подынтегральной функции при  линейной интеграции не меняется, а схема ЦДА имеет вид:

Импульсы f поступают на управляющие входы элементов, а в сумматоры CмХ и СмУ поступают приращения . Импульсы переполнения являются унитарными выходными кодами.

Пример

Выполнить интерполяцию по ЦДА отрезка прямой с Х₀=0, У₀=0, Х_к=5, У_к=3 с точностью d=0.7 мм.

• величина шага мм
• количество шагов (квантов) по оси Х К_х=Х_к/h=5/0.7=7 по оси У К_у=У_к/h=3/0.7=4
• разрядность сумматоров определяется:

Оперируя целочисленной  арифметикой 

 

t		Х		У
0	0	0	0	0
1	7	0	4	0
2	6	1	0	1
3	5	1	4	0
4	4	1	0	1
5	3	1	4	0
6	2	1	0	1
7	1	1	4	0
8	0	1	0	1

Количество импульсов  подаваемых на схему должно быть равно  периоду сумматора, т.е.2ⁿ.

К достоинствам линейного  интерполятора по ЦДА можно отнести:

• высокую точность интерполяции
• простоту наращивания числа координат
• наличие внутренней константы, равной периоду сумматора
• возможность определить окончание обработки заданных перемещений при любом числе координат с помощью одного счетчика с емкостью 2ⁿ.

Круговая интерполяция по ЦДА

Данный интерполятор основан на интегрировании дифференциального уравнения вида:

у^//+у=0,

решениями, которого в  параметрической форме являются выражения:

Х=R cosj

У=R sinj                                              (2)

где j=wt, w- угловая скорость импульса аргумента, t- число импульсов аргумента.

Выражения (2)являются уравнение  окружности.

Уравнения для приращений

 

(3)

Из выражения (2) следует, что текущие координаты точек окружности равны:

(4)

Если значение из выражения (4) подставить в (3), то получим:

(5)

Определим значения текущих  координат точки окружности через  координаты предыдущей точки (см. рис.)

(6)

Подставив значения из (5), (6) получим:

С учетом выражения определяется приращение длины дуги.

где V_k- контурная скорость мм/сек, f- частота импульсов поступающих на шаговый привод.

Значение  можно определить из равенства

К достоинствам круговой интерполяции по ЦБА следует отнести  наличие прямой связи между декартовыми координатами текущей точки и углом поворота вектора.