Использование асимптотических методов для решения уравнений

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«АМУРСКИЙ ГУМАНИТАРНО–ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГОУ ВПО «АмГПГУ»)

 

Использование асимптотических  методов для решения уравнений

 

Курсовая работа

по математическому анализу-

 

Выполнил: студент гр. МИ-44,

Малышева Е.А.

Проверил: Погорелова А.В.

 

 

Комсомольск-на-Амуре

2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                    3

  1.ПРОСТЕЙШИЕ АССИМПТОТИЧЕСКИЕ  ОЦЕНКИ.                         5

1.1.Символы ,о, О                                                                                        5

1.2.Простейшие асимптотические  оценки интегралов и рядов                7

1.3. Преобразование Абеля.                                                                        11

2.АССИМПТОТИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО                                                12

3.АССИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ.                                                           14

4. ЭЛЕМЕТАРНЫЕ ДЕЙСТВИЯ  С АССИМПТОТИЧЕСКИМИ  

РЯДАМИ                                                                                                      19

4.1. Сложение и умножение  формальных степенных рядов.                  19

4.2. Дифференцирование и  интегрирование формальных рядов            21

5.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.                                                      25

5.1. Квадратные уравнения                                                                          25

5.2. Кубические уравнения                                                                          44

5.3. Уравнения высших порядков.                                                              52

ПРИЛОЖЕНИЯ.                                                                                           56

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                             61

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК                                                          62

 

ВВЕДЕНИЕ.

Методы возмущений или  асимптотические методы малого параметра  для решения дифференциальных уравнений  представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления  решений весьма сложных линейных и нелинейных краевых задач как  для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений  в частных производных.

Суть асимптотических  методов заключается в том, что  при их применении достигается синтез простоты и точности за счет локализации: в окрестности некоторого предельного  состояния находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность.

Аналитические методы обычно делятся на эвристические и точные.

Совмещая в себе простоту эвристических представлений с  точностью аналитических оценок, асимптотические методы не ограничиваются ролью «золотой середины». В математике они занимают особое место. Главное отличие от классической математики состоит в том, что уровень точности конкурирует с размерами области действия; в заданной области точность асимптотического разложения всегда ограничена. Такая плата за эффективность оказывается вполне приемлемой не только на практике, но и в теории, если этот «принцип неопределенности» допустить хотя бы в ту область математики, которая занимается асимптотическими методами. Жизненность и перспективность асимптотических методов подтверждается также тем фактом, что активное взаимодействие численных методов с аналитическими происходит также через асимптотику.

Эффективность асимптотических  методов признана всеми в самых  разных областях прикладной математики.

Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики, инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются точному решению. Среди  причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия  на известных или неизвестных  границах сложной формы. Для решения  подобных задач мы вынуждены пользоваться различного рода приближениями, комбинируя численные и аналитические методы. Среди аналитических методов  весьма мощными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим  или малым значениям параметра  или координаты.

В большинстве задач гидромеханики, динамики твердого тела и других разделов физики крайне редко оказывается  возможным получить точные решения— причиной этого служат обычно различного рода нелинейности, неоднородности или  сложные граничные условия. Поэтому  инженеры, физики и специалисты по прикладной математике вынуждены обращаться к приближенным решениям, которые  могут строиться либо численными методами, либо аналитическими, либо путем  комбинации численных и аналитических  подходов.

 

 

1.ПРОСТЕЙШИЕ АССИМПТОТИЧЕСКИЕ  ОЦЕНКИ.

§1.1.Символы ,о, О.

Пусть функции f(x), g(x) определены на некотором множестве М и а - предельная точка множества М. Как правило, независимое переменное x является вещественным или комплексным числом.

Используем следующие  общепринятые обозначения.

Формула	Определение
	Существует постоянная С такая, что , при всех
	Существует постоянная С и окрестность U точки a такие, что , при

 

В данных формулах указание на множество М будем опускать в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений.

Соотношение означает, что функция есть бесконечно малая по сравнению с при . Аналогично соотношение ) означает, что функция ограничена по сравнению с функцией при . Отсюда получаем ряд правил действий с символами о, О:

 

 

 

В этих формулах , множество и точка а – одни и те же в левой и правой части каждого равенства.

Расшифруем и докажем  первую формулу, остальные доказываются аналогично.

Пусть , при ; тогда при - это содержание первой формулы.

Доказательство:

 

Точно такие же формулы  справедливы для символа .

Далее имеют место формулы

 

 

 

Во всех формулах

Определение: соотношение вида

 

называют асимптотическими формулами или асимптотическими оценками.

§1.2.Простейшие асимптотические оценки интегралов и рядов.

Приведем простые достаточные условия, при которых асимптотические оценки можно интегрировать.

Предложение 1.1. Пусть функции , непрерывны, при

a<x<b, и пусть

 

где a<<b. Тогда:

 Если , то

 

 Утверждение  остается в силе, если всюду заменить на.

 Если , то

 

Докажем Применяя правило Лопиталя, получаем

 

Остальные утверждения доказываются аналогично.

В этом предложении достаточно потребовать измеримости функции  и суммируемости на каждом отрезке

1.Если

 

 

2. Если

 

 

3. Пусть . Тогда при

 

4. Пусть

 

5.

Приведем простейшие оценки рядов.

Предложение 1.2. Пусть функции непрерывна, положительна и монотонна при x Тогда

 

Пусть возрастает для определенности. Тогда

 

суммируя эти неравенства  при получаем

 

 

Тем самым (1.4.) доказано.

Предложение 1.3. Пусть  функция  непрерывно дифференцируема при x Тогда

 

Имеем

 

 

Следовательно,

 

Суммируя тождества (1.6) от k=1 до k=n и учитывая последнее неравенство, получаем (1.5).

Предложения 1.2 и 1.3 удобны при  вычислении асимптотики сумм типа если растёт не быстрее некоторой степени x при

При n имеем

6.

7.

8.

9.

1.3. Преобразование Абеля.

Это преобразование – аналог формулы интегрирования по частям:

 

 

 

Этим преобразованием  удобно пользоваться в случае, когда  поведение при  суммыизвестно, а , где - гладкая функция. Пусть функция непрерывно дифференцируема при x0 и

,так что - ступенчатая функция:0 при x<1, при Тогда формулу (1.3.1) можно записать в виде

 

 

 

 

 

2.АССИМПТОТИЧЕСКОЕ  РАВЕНСТВО

Определение: асимптотически равны при , если отношение стремиться к единице.

 

Это обозначение используется также и при любом другом способе  стремления переменной к пределу (скажем, ).

Строго говоря, символ является излишним, так как соотношение вполне удобно записывать в виде или в виде

Пример 2.1:

Пример 2.2:

Пример 2.3:

по формуле Стирлинга:

Пример 2.4:

по закону распределения  простых чисел:

Говоря об «асимптотическом поведении» данной функции , можно иметь в виду асимптотическую информацию любого рода. Однако обычно под этими словами подразумевают простую функцию асимптотически равную «Простая » означает, что способ вычисления ее значений не становится исключительно сложен, когда x очень велико. Например, с некоторой точки зрения много проще, чем но с точки зрения асимптотических свойств последнее выражение проще.

Слова «асимптотическая формула  для » обычно употребляются в том же узком смысле, т.е. в них речь идёт о формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.АССИМПТОТИЧЕСКИЕ  РЯДЫ.

Часто бывает так, что для  функции при имеется бесконечная последовательность - оценок, причем каждая следующая оценка как бы совершенствует предыдущую. Особенно часто встречаются последовательности вида: имеется последовательность функций удовлетворяющим условиям

(3.3.1)

и последовательность постоянных таких, что для имеет место последовательность O – оценок

 

Очевидно, что вторая формула  усовершенствует первую, поскольку

 

Аналогично третья формула  усовершенствует вторую и т.д.

Чтобы записать все множество  формул (3..3.2) одной формулой, воспользуемся обозначением:

 

Правая часть выражения (3.3.3) – асимптотический ряд для или асимптотическое разложение функции .

Нетрудно убедиться, что при данных и величины определяются единственным образом, если асимптотическое разложение по существует. В самом деле, допустим, что справедливо соотношение (3..3.3) и что имеется ругой асимптотический ряд

 

Обозначив через k наименьшее из чисел n, для которых , после вычитания получим

 

Разделив на , получим что противоречит условию

Если все коэффициенты в формулах (3.3.2) равны нулю. Тогда пишем

 

Это значит, что  для всех n (но не обязательно равномерно по n).

Например, поскольку  при всех n, то можно написать

 

Ряд вида (3.3.3) не обязательно сходится. Причина в том, что сходимость является некоторым свойством ряда при фиксированном , в то время как - оценки (3.3.2) относятся не к фиксированному , а к . Сходимость ряда (3.3.3) , скажем, что для всех x>0, означает, что для каждого фиксированного x ряд обладает некоторым свойством при С другой стороны, утверждение, что ряд является асимптотическим разложением функции , означает, что этот ряд обладает тем же свойством при фиксированном и при .

Более того, даже если асимптотический  ряд сходится, его сумма не обязана  быть равной ; формула (3.3.4) дает пример. Можно подобрать функции таким образом, чтобы ряд (3.3.3) сходился при всех и в то же время не являлся бы асимптотическим рядом своей суммы.

Простейшим примером расходящегося  асимптотического ряда является следующий. Рассмотрим функцию , определенную формулой

 

(с точностью до постоянного  слагаемого эта функция совпадает  с интегральной экспонентой Ei x). Интегрируя по частям, получаем

 

Первый член в правой части равен , а второй – более высокого порядка малости. Разбивая интеграл на два слагаемых, получаем

 

 

Так как – , и равны, то , то

 

Дальнейшее усовершенствование оценки мы получаем, повторяя ту же операцию. Интегрируя по частям интеграл в равенстве (3.3.6), находим

 

и вообще (n=1,2,3 …):

 

Последний интеграл равен  при и при фиксированном n. Это можно доказать разбивая промежуток на две части, а именно (1,) и (, x). При каждом n имеем

 

следует, что 

 

Ряд в правой части не сходится ни при одном значении

Простым, хотя и тривиальным, классом асимптотических рядов  является класс, сходящийся степенных рядов. Пусть

 

Причем , где - любое положительное число, меньше радиуса сходимости. Тогда

 

Доказательство.

Из сходимости ряда при  следует ограниченность его общего члена, т.е. при всех . При любом и при имеем

 

откуда 

 

Это доказывает утверждение.

4. ЭЛЕМЕТАРНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С АССИМПТОТИЧЕСКИМИ РЯДАМИ

4.1. Сложение и  умножение формальных степенных  рядов.

Определение: ряд   является степенным рядом (по степеням ) и не зависимо от его сходимости называется формальным степенным рядом.

Если для таких формальных степенных рядов определить единственным образом сложение и умножение, то множество всех формальных степенных  рядов станет коммутативным кольцом, единицей которого будет ряд (обозначим ряд за I). Для рядов и (обозначим ряды за А и В соответственно) определим сумму и произведение равенствами

 

 

Если , то существует единственный ряд С, такой, что АС=I. Его коэффициенты определяются последовательно из уравнений