Использование линейных моделей в экономических процессах

Использование линейных моделей 

в экономических  процессах

Евгеньев Н. А., Ерофеев  И. В., Сибирская региональная школа

бизнеса (колледж)

научный руководитель Лукьянчикова Р. Г.

 

Моделирование – один из способов исследования экономических систем и процессов. Модель – образ реальной системы (объекта, процесса) в материальной или теоретической форме. Моделирование основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта (системы) не непосредственно, а опосредованно, через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта (модели).

Пути  повышения эффективности управления экономикой на разных уровнях –  важнейшая проблема, стоящая перед специалистами в этой области. Поэтому в настоящее время серьезное внимание уделяется разработкам математических моделей различных экономических процессов и объектов, их анализу, прогнозированию и выработке управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.

Цель этого  исследования – проанализировать и рассмотреть примеры применения линейных моделей в экономических процессах.

Используемая  в настоящее время стандартная  модель международной торговли объединяет различные теории на основе использования  концепций предельных величин и  общего равновесия экономической системы.

Линейная  модель обмена позволяет найти национальные доходы стран или их соотношение  для сбалансированной торговли.

Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х₁, х₂, …, х_n, расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли.

Пусть а_ij – доля бюджета х_j, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов а_ij:

 

.

 

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство  .

Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой .

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется  естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки  от торговли, т. е. , или .

Сложим все  эти неравенства при i от 1 до п. Группируя слагаемые с величинами бюджетов , получаем

.

 

Нетрудно  заметить, что в скобках стоят  суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Стало быть, мы получили неравенство , откуда следует, что возможен только знак равенства.

Таким образом, условия принимают вид равенств:

 

 

Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме: . Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить

Линейная  модель многоотраслевой экономики. Для простоты будем полагать, что  производственная сфера хозяйства  представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие  обозначения: х_i – общий объем продукции i-й отрасли; х_ij – объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции х_j; y_i – объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.

Балансовый  принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что  валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид

 

x_i = x_i1 + x_i2 + … + x_in + y_i, i = 1, 2, …, n.

 

Эти уравнения  называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.

В. Леонтьевым на основании анализа экономики  США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины a_ij = x_ij / x_j меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема x_j есть технологическая константа.

В свете установленного факта можно  найти плановые объемы валовой продукции  отраслей, межотраслевые поставки, а также чистую продукцию рассматриваемых  отраслей, необходимый объем валового выпуска каждой отрасли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.2. Линейная  модель обмена

29.12.2011, 11:29

В качестве примера  математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли). [1] Рассмотрим n стран S1,S2,...Sn, национальный доход каждой из которых равен соответственно x1,x2,...xn. Обозначим коэффициентами aIJ часть национального дохода, которую страна SJ тратит на покупку товаров у страны SI. Считаем, что весь национальный доход тратиться на закупку товаров либо внутри страны, либо у других стран.    Тогда ,приняв национальный доход за единицу, для частей этого дохода имеющихся у страны j имеем равенство                     (j=1,2...n)              (1) Рассмотрим матрицу -структурную матрицу торговли. Сумма элементов  любого столбца матрицы А равна 1. Для любой страны SI (i=1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит: pi=ai1x1+ai2x2+...+ainxn. Для наличия сбалансированной торговли необходима бездифицитность торговли каждой страны Si, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода [1]: pi³xi (i=1,2,...,n), а значит получаем систему неравенств       (2) Сложив все неравенства  системы (2), получим  x1(a11+a21+..+an1)+x2(a12+a22+..+an2)+..+xn(a1n+a2n+..+ann)x1+x2+...+xn.     Выражения в скобках  равны единице, а поэтому мы приходим к неравенству x1 + x2 +...+xn  x1 + x2 +...+ xn, которое выполняется только в случае равенства, а поэтому имеем систему .                    (3) Если вектор - вектор национальных доходов стран, то уравнение (3) можно записать в виде Ax=x,                   (4) т.е. задача свелась  к отысканию собственного вектора  матрицы А, отвечающего собственному значению l=1.        Пример. [1] Пусть структурная  матрица торговли трех стран S1,S2,...,Sn имеет вид:   Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли. Решение. Находим собственный  вектор x, отвечающий собственному значению l=1, решив уравнение (A-E)x=0 или систему однородных уравнений   Легко проверить, что  решениями являются числа x1=(3/2)c, x2=2c, x3=c, т.е. вектор  Полученный результат  означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе  национальных доходов  т.е. при соотношении национальных доходов стран 3/2:2:1 или 3:4:2.