Исследование и решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет информационных технологий

 

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники

и автоматизированных систем

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине «Численные методы»:

 

Исследование и решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

 

ОГУ 231000.62.5012.129 ПЗ

 

 

 

 

Руководитель проекта 

______________Тишина Н.А.

«__»____________________2012г.

Исполнитель

студент гр.11Пинж(б)РПИС

______________ Лапшин А.А.

«__»____________________2012г.

 

 

 

 

 

 

 

Оренбург 2012

 

Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет информационных технологий

 

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники

и автоматизированных систем

 

 

 

 

 

Задание на курсовую работу

 

Исследование и решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Реализовать один из методов  решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Входные данные: ввод с клавиатуры координат начальной точки и шага.

 

 

 

 

 

 

Дата выдачи задания “___ ”____________2012г.

Руководитель                                              Тишина Н.А.

Исполнитель

Студент группы 11ПИНЖ(б)РПИС   Лапшин А.А.

 

Срок защиты работы “___”______________2012г.

 

 

Оренбург 2012 

Содержание 

 

	Введение…………………………………………………………….....	4
1 2	Постановка задачи…………………………………………………..... Теоретические предпосылки…………………………………………	5 7
3	Тестирование………………………………………………………….	11
4	Блок схема……………………………………………………………..	14
	Приложение А Текст программы…………………………………...	16

 

 

Введение

Курсовая  работа написана на языке программирования C++, с использованием стандартного модуля “math.h”, в котором собраны математические функции, необходимые для функционирования программы, дополнительного модуля “graphics.h”, необходимого для построения графика, и модуля “iomanip.h”, отвечающего за форматированный ввод файлового потока.

Программа начинает свое действие с ввода первоначальных данных, а точнее с ввода координат  начальных точек и шага.

Работа  продолжается после нажатия любой  клавиши. Выполняется расчет первых 2 точек методом Рунге-Кутта 4 порядка  и координаты точек передаются в  неявный метод Адамса 3 порядка. Вычисляются  первые 400 точек и строятся графики  функций r(t) и f(t). Клавиша Enter  является сигналом для продолжения вычислений, после нажатия которой вычисляются следующие 400 точек и строятся графики.

Выход осуществляется посредством нажатия клавиши Esc, после нажатия которой, все найденные  координаты записываются в файл Результат.txt.

 

 

1. Постановка задания

Изучить метод Адамса для решения обыкновенных дифференциальных

уравнений, выполнить его программную реализацию.

 Рассмотрим простую экосистему, состоящую из кроликов, для которых имеется неограниченный запас пищи, и лис, которые для пропитания охотятся за кроликами. Классическая математическая модель, принадлежащая Вольтерра, описывает эту систему двумя нелинейными уравнениями первого порядка:

 

dr/dt = 2r -αrf,   r (0) = r₀,

df/dt=-f + αrf,   f(0) = f₀.

 

Здесь t-время, r = r (t) - число кроликов, f = f(t)- число лис и α - положительная константа. При α = 0 две популяции не взаимодействуют, и кролики делают то, что у кроликов получается лучше всего, а лисы вымирают от голода. При α > 0 лисы встречают кроликов с вероятностью, пропорциональной произведению числа тех и других. В результате таких встреч число кроликов убывает, а число лис (по менее очевидным причинам) возрастает.

Исследуйте  поведение этой системы для α = 0.01 и различных значений r₀ и f₀, простирающихся от 2 или 3 до нескольких тысяч. Нарисуйте графики наиболее интересных решений. Начертите также график с осями r и f. Поскольку мы умалчиваем о единицах измерения, нет причин ограничивать r и f только целыми значениями.

(а) Вычислите решение для r₀ = 300 и f₀ = 150. Вы должны обнаружить, что поведение системы периодично с периодом, очень близким к 5 единицам времени. Иными словами, r(0) ≈ r(5) и  f (0) ≈ f(5).

(б) Вычислите решение для r₀ = 15 и f₀ = 22. Вы должны получить, что число кроликов в конечном счете становится меньше 1. Это можно интерпретировать так, что кролики вымирают. Найдите начальные условия, которые обрекают на вымирание лис. Найдите начальные условия с r₀ = f₀, при которых вымирают оба вида.

(в) Может ли какая-либо компонента точного решения стать отрицательной? Может ли стать отрицательным численное решение? Что произойдет в этом случае? (На практике ответы на последние два вопроса могут зависеть от заданных вами границ погрешностей.)

 

2. Теоретические предпосылки

 

1.  Дифференциальные уравнения и методы их решения

Многие инженерные задачи приводят к необходимости поиска решения  дифференциальных уравнений, удовлетворяющих  определенным условиям. Однако получить точное решение дифференциального  уравнения удается лишь в отдельных  случаях, но даже при этом часто получают выражение, содержащее искомую функцию  в неявном виде, что затрудняет ее использование. Поэтому в данной работе рассматривается один из способов решение дифференциальных уравнений  – метод Адамса.

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных  явлений и процессов в науке  и технике.

Методы их решения подразделяются на два класса:

1. аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;
2. численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Применение аналитических методов  позволяет исследовать полученные решения методами математического  анализа и сделать соответствующие  выводы о свойствах моделируемого  явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно  решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют  получить с определенной точностью  приближенное решение практически  любой задачи.

2. Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Обыкновенными дифференциальными уравнениями  описывают задачи движения системы  взаимодействующих материальных точек, сопротивление материалов и многое другое. Ряд важных задач для уравнений  в частных производных также  сводятся к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким  образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений занимает важное место  среди прикладных задач физики, химии, техники.

Конкретная  прикладная задача может приводить  к дифференциальному уравнению  любого порядка или системе уравнений  любого порядка. Однако обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка можно с  помощью замены свести к эквивалентной  системе n уравнений первого порядка.

Различают три основных типа задач для решения  обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения. В этой курсовой работе будут рассматриваться  методы решения задач Коши.

Пусть задано дифференциальное уравнение первого  порядка в виде

 

(1.1)

 

и начальное условие

 

(1.2)

 

Задача  Коши состоит в том, чтобы найти  функцию

 

,

 

являющуюся решением уравнения (1.1) и удовлетворяющую условию (1.2).

методы решения можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К точным относятся методы, с помощью которых можно выразить решение дифференциального уравнения через элементарные функции. Приближенные методы – это методы, в которых решение получается как придел некоторой последовательности. Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы.

 

3. Метод Адамса для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Этот  метод разработан Адамсом в 1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, занимавшегося внешней баллистикой. Впоследствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века норвежским математиком Штермером.

Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой функции,

 

где h – шаг изменения .

Вычислим величины

 

,

,

,

.

 

Метод Адамса позволяет найти решение  задачи, то есть функцию в виде таблицы. Продолжение вычисленный функции из четырех точек осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса, в данном случае 3 порядка: 

            (1.3)

 

затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса 3 порядка:

 

(1.4)

 

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений.

4. Анализ погрешности метода Адамса

Из теории приближенных методов известно, что  при шаге интегрирования h имеет место оценка

 

,

так что погрешность одного шага вычислений имеет порядок . Суммарная погрешность за n шагов будет порядка . Отсюда, если увеличить n в два раза. То погрешность уменьшиться примерно в 16 раз. Поэтому для оценки приближенного решения , полученного с шагом h, повторяют вычисление с шагом 2h и за абсолютную погрешность принимают число

,

где – приближенное решение с шагом 2h.

Приведенная оценка является оценкой  метода и не учитывает погрешность  при округлении.

3. Тестирование

Программа протестирована на различных наборах входных  данных.

Первый пункт задания: r₀=300, f₀=150, a=0.01, t=0, t=t+h, h=0.1

Рисунок 1 Таблица значений r и f

Рисунок 2 График r(t) и f(t)

 

Было  подтверждено периодичность системы  с периодом. То есть r(t)≈r(t+const) и f(t)≈f(t+const)

 

 

 

 

 

Пример 2: r₀=20, f₀=30, h=0.1

Рисунок 3 Таблица значений r и f

 

Рисунок 4 - График r(t) и f(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3: r₀=40, f₀=3, h=0.01

Рисунок 5 Таблица значений r и f

 

 

Рисунок 6 График r(t) и f(t)

 

 

 

 

 

При r₀=15, f₀=22, h=0.1, a=0.01 наблюдается падение r, то есть r принимает значения меньше 1. Это говорит о том, что жертва, в данном случае кролик, вымирает. При r₀=2, f₀=3, а=0.01, h=0.1 наблюдается обратная ситуация.

Не исключено, что компонента может  принять отрицательное значение.

Погрешность вычислений определяется по формуле Δy=1/15*|y_i-y_h|, где y_i значение вычисленное с шагом h, а y_h значение вычисленное с шагом 2h.

 

4. Блок-схемы

Рисунок 7 Основная функция main()

 

 

               

Рисунок 8 Функция p_dr (int i,double *r,double *f,double a)

 

 

Рисунок 9 Функция ratio_f (int i,double *r, double *f,double a,double h)

 

 

 

 

 

Приложение А

Текст программы

 

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <fstream>

#include <math.h>

#include <windows.h>

#include <graphics.h>

#include <iomanip.h>

 

#define eps 0.001

 

using namespace std;

 

double func_dr (double r, double f,double a);

double func_df (double r, double f,double a);

double ratio_r (int i,double *r, double *f,double a,double h);