Исследование свойств обыкновенных дифференциальных уравнений

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)

 

Математический факультет

Кафедра теории управления и оптимизации

 

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

по дисциплине: Дифференциальные уравнения

 

  ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ОБЫКНОВЕННЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

                               Вариант 11

 

 

 

 

 

 

                                                                                    Выполнил: Шмелёва А.И.

                                                                    

                                                                    Группа: МП-202

 

Руководитель: Алеева С.Р.,

кандидат физико-математических наук

 

                                                                                         Оценка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                           Челябинск  2014

 

1. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Теорема1 (об аналитичности решения) :

Если ,, являются аналитическими функциями t в окрестности точки и , то решения уравнения

                               (1.1)

также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, следовательно, решения уравнения (1) можно искать в виде

 

Теорема2 (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд) :

Если уравнение (1.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но является нулем конечного порядка s функции , нулем порядка s-1 или выше функции (если s>1) и нулем порядка не ниже s-2 коэффициента (если s>2), то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (1) в виде  суммы обобщенного степенного ряда

   (1.2)

 

Где k – некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.

 

 

 

Дано уравнение:

Решение можно представить в виде ряда

 

тогда и соответственно:

                                               

                                             

 

Подставив ряд в уравнение, получим

 

 

+=

Перемножим 2 ряда, получим

 

 

 

=

 

 

Приводим t к одной степени, получим

= {замена m=n+1} = =

 

{замена  n=m} = 

 

{замена m=n+2} = =

 

{замена  n=m} =

 

После преобразований получу уравнение вида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях тождества, получу:

 

 

=

 

           =0

 

 

 

 

 

 

 

Определим радиусы сходимости полученных решений:

 

Для этого уравнение представим в виде

 

Обозначим коэффициент при    через  и коэффициент при  x через  . Функции  разлагаются в бесконечные степенные ряды, а по теореме: если функции разлагаются в ряд с бесконечным радиусом ,то и радиус сходимости решения так же равен бесконечности.

 

 

Вычислю первые 100 коэффициентов разложения, использовав программу, представленную в приложении1:

Возьму , тогда первые 100 коэффициентов равны:

 

0 = 0

1 =1

2 = 0

3=-0.0833333

4=0

 

5=-0.14375

6=0.0666667

7=-0.0331101

8=0.0142857

9=0.0075991

10=-0.00285714

11=0.000592131

12=-0.00021645

13=-0.000167013

14=5.42315e-005

15=-3.28956e-006

16=1.12388e-006

17=1.93276e-006

18=-5.61064e-007

19=-1.91806e-008

20=4.41564e-009

21=-1.33716e-008

22=3.54769e-009

23=3.91193e-010

24=-9.46948e-011

25=5.936e-011

26=-1.46258e-011

27=-2.72874e-012

28=6.27274e-013

29=-1.73943e-013

30=4.03396e-014

31=1.15144e-014

32=-2.50697e-015

33=3.25149e-016

34=-7.21098e-017

35=-3.35363e-017

36=6.94189e-018

37=-2.91712e-019

38=6.49895e-020

39=7.15288e-020

40=-1.41413e-020

41=-3.16875e-022

42=5.10209e-023

43=-1.15222e-022

44=2.18565e-023

45=1.73126e-024

46=-3.06235e-025

47=1.41865e-025

48=-2.59425e-026

49=-3.62568e-027

50=6.29112e-028

51=-1.32065e-028

52=2.34161e-029

53=5.16861e-030

54=-8.72171e-031

55=8.72815e-032

56=-1.51623e-032

57=-5.60967e-033

58=9.1986e-034

59=-2.97981e-035

60=5.3138e-036

61=4.83827e-036

62=-7.71812e-037

63=-1.48932e-038

64=1.98036e-039

65=-3.37636e-039

66=5.24957e-040

67=3.4919e-041

68=-5.10633e-042

69=1.90997e-042

70=-2.90069e-043

71=-3.50325e-044

72=5.60519e-045

73=-1.4013e-045

74=0

75=0

76=-0

77=0

78=0

79=0

80=0

81=0

82=0

83=0

84=0

85=0

86=0

87=0

88=0

89=0

90=0

91=0

92=0

93=0

94=0

95=0

96=0

97=0

98=0

99=0

100=0

Возьму , тогда первые 100 коэффициентов равны:

0 = 1

1 =0

2 = 0

3=-0

4=-0.25

5=0.15

6=-0.0833333

7=0.0386905

8=1.33046e-010

9=-0.00813079

10=0.00277778

11=-0.000722572

12=-0.000105219

13=0.000181837

14=-4.23188e-005

15=4.69418e-006

16=2.54953e-006

17=-2.13499e-006

18=3.48236e-007

19=1.18855e-008

20=-2.83756e-008

21=1.49811e-008

22=-1.64708e-009

23=-3.81339e-010

24=1.87037e-010

25=-6.75963e-011

26=4.14891e-012

27=2.83329e-012

28=-8.13556e-013

29=2.02635e-013

30=-1.21489e-015

31=-1.2299e-014

32=2.47872e-015

33=-3.95142e-016

34=-3.20988e-017

35=3.64848e-017

36=-5.46863e-018

37=4.10617e-019

38=1.38501e-019

39=-7.89816e-020

40=8.82974e-021

41=1.87982e-022

42=-3.43842e-022

43=1.29065e-022

44=-1.01842e-023

45=-1.68628e-024

46=6.0656e-025

47=-1.61542e-025

48=7.35893e-027

49=3.76491e-027

50=-8.14814e-028

51=1.53876e-028

52=-6.43452e-031

53=-5.52198e-030

54=8.59949e-031

55=-1.0616e-031

56=-6.91177e-033

57=6.10444e-033

58=-7.21814e-034

59=4.22282e-035

60=1.17706e-035

61=-5.344e-036

62=4.79197e-037

63=9.29532e-039

64=-1.24422e-038

65=3.78346e-039

66=-2.42294e-040

67=-3.41132e-041

68=9.94782e-042

69=-2.17622e-042

70=7.9874e-044

71=3.50325e-044

72=-7.00649e-045

73=1.4013e-045

74=0

75=-0

76=0

77=-0

78=0

79=0

80=0

81=0

82=0

83=0

84=0

85=0

86=0

87=0

88=0

89=0

90=0

91=0

92=0

93=0

94=0

95=0

96=0

97=0

98=0

99=0

100=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Синтез управления не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.

Дано уравнение:

Записываем в виде системы:

 

Рассмотрим 2 случая:

при u= -1:                           

Воспользуюсь формулой  

 

при u= 1:                             

Воспользуюсь формулой  

 

Фазовые портреты представлены  на рисунках 1, 2, 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Малые возмущения системы линейных уравнений

 

  Дано:                            (3)

 

 

 

 

.Для исследования фазовых кривых  системы (3) рассмотрим близкую к  ней  систему линейных однородных  уравнений:

 

Запишу матрицу коэффициентов:

A=

Нахожу собственные значения:

 

 

При  собственные вектора:

 

 )a=b  => a=- , b =

 

 

 

 

 

 

Находим :

→→→→→

 

Находим В:

 

 

 

 

Замена

 

-2-2-2-2

 

-2

 

 

Система (3.1) приняла вид:

 

 

 

 

 

Из [1] следует, при том, что

  ,

 

Замена

 

4, 8Acost-1, 6Asint+3,2t+19,2AcostAsint+28,8t

5, 6Acost+8, 8Asint-6,5t+86,4AcostAsint+49,6t

 

 

 

] = -1,6

 

 

 

Фазовая траектория системы показана на рисунке 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

 

#include "stdafx.h"

#include "stdio.h" 

#include "stdlib.h"

#include <iostream>

double fact(double N)

{

    if(N < 0)

        return 0;

    if (N == 0)

        return 1;

    else

        return N * fact(N - 1);

}

 

using namespace std;

int main(void)

{ 

const int m=101;

float a[m]={0,};

int s;

int n;

cout<<"0 = ";

cin >>a[0];

cout<<"\n";

cout<<"1 =";

cin >>a[1];

cout<<"\n";

a[2]=0;

cout<<"2 = "<<a[2];

cout<<"\n";

cout<<"\n";

 

for(n=3;n<101;n++){

for  (int k = 0; k <= n-3; k++) {

     s = (k + 1)*(k + 2)*a[k + 2]*1/fact(n -2 - k);

   }

a[n]=((-2)*s - (n-2)*a[n-2] - 6*a[n-4]) / (2*n*(n- 1));

cout <<n<<"="<< a[n] << "\n"<< endl;

}

 

system("PAUSE");

return 0;}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

[1] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск:НИЦ “Регулярная и хаотичная динамика”,2000, Гл.2.§12

[2] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск:НИЦ “Регулярная и хаотичная динамика”,2001,  Гл.2.§16

[3]  Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.М.:КомКнига/URSS,2006, Гл.2.§7