История и основные понятия теории систем массового обслуживания

 

Для решения данной задачи необходимы прежде всего хронометражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени. Если хронометраж  осуществляется в течение 10 дней каждые 15 минут за смену (кроме начала и  конца рабочего дня), то за этот период времени было произведено 300 наблюдений (30 наблюдений, умноженное на 10 дней). Время наблюдений (T) составит 4500 мин (15 ×300). Причем таких промежутков, когда на склад никто не приходил или приходил только один рабочий, не наблюдалось, приход двух рабочих отмечался один раз, трех – три раза и т. д. (табл. 1).

Частота прихода двух рабочих при 300 наблюдениях равна 0,33 , трех – 1  и т. д.

Для определения среднего числа приходов в единицу времени ( ) исчисляется полное число приходов (N) как сумма произведений числа приходов (количества пришедших в кладовую рабочих) на наблюдаемое число приходов.

Таким образом, среднее  число требований на обслуживание, т. е. среднее число приходов в  единицу времени ( ), составит:

  = = =0,903 чел. – мин.

Чтобы определить распределение  вероятностей для длительности обслуживания при предположении, что закон  распределения экспоненциальный, вычислим среднюю продолжительность одного обслуживания (Т_обсл); она равна 1,6 мин.

После этого можно  установить интенсивность обслуживания (µ):

 

µ_{=  ;} µ= =0,625 чел. – мин.

В случае, когда  <µ, увеличение очереди не возникает, так как удовлетворение требований происходит не ранее их поступления. В данном примере  > (0,903>0,625) и в кладовой образуется очередь.

Точно определить величину очереди как случайную нельзя. Можно вычислить вероятность  того, что в момент времени (t) очередь  будет характеризоваться числом требований P_n(t):

P_n(t)= (1- ); P₀(t) =(1- );  = ,

где P₀(t) – вероятность отсутствия очереди.

В тех случаях, когда  1, вероятность отсутствия очереди ( ₀) обычно берется из графиков (в данном примере  =1,445).

Для построения таких  графиков воспользуемся таблицей значений Р₀ для различных значений   и n (n –количество кладовщиков в инструментальной кладовой).

Таблица 2. – Значения Р₀ для различных значений   и n

	2	3	4	5	6	7	…
1 2 3 4	0,33	0,363 0,111	0,367 0,130 0,037	0,367 0,134 0,046 0,013	0,367 0,135 0,049 0,016	0,367 0,135 0,049 0,017	0,368 0,135 0,050 0,018

 

По данным табл.2 , в  данном случае рассматривается многолинейная система, когда n  1 (количество кладовщиков превышает единицу).

 

Определим среднее время  ожидания (T_с), которе складывается из среднего времени ожидания обслуживания в очереди (Т_ож) и среднего времени обслуживания (Т_обсл):

T_с= Т_ож + Т_обсл.

В том случае, когда  в системе работает n кладовщиков, среднее время ожидания в очереди  определяется по формуле при n =2:

Т_ож =  = = 1,613;

T_с = 1,613+1,6=3,213 мин;

при n=3

Т_ож =  = = 0,199;

T_с = 0,199 +1,6 =1,799 мин;

при n=4

Т_ож =  = = 0,035;

T_с = 0,035 +1,6 =1,635 мин и т. д.

Предположим, что у рабочего потери от простоев составляют 5, а содержание кладовщика – 4 ден. ед. в единицу времени. За период времени Т в систему поступает  Т заявок, т. е. 1,445Т заявок.

Потери вследствие простоя  рабочих при различном числе  кладовщиков, расходы на заработную плату кладовщиков, а также суммарные  затраты и потери приведены в  табл.3.

Таблица 3

Количество кладовщиков	Потери от простоя  Рабочих	Затраты на содержание кладовщиков	Суммарные затраты и  потери
2 3 4	3,213*1,445*5Т=23,214 Т 1,799*1,445*5Т=12,998Т 1,635*1,445*5Т=11,813Т	8Т 12Т 16Т	31,214Т 24,998Т 27,813Т

Из табл. 3 следует, что  экономически выгоднее в инструментальной кладовой иметь трех кладовщиков, поскольку суммарные затраты будут наименьшими (min 24,998Т).

 

 

 

 

 

4. Системы массового обслуживания на современном этапе

Современный этап развития теории систем массового обслуживания характеризуется значительным увеличением числа теоретических исследований и их практическим применением в экономике, программировании, медицине, биологии, страховании, социологии, радиоэлектронике, электротехнике, геофизике, геологии и т.п.

В настоящее время  появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др. В частности исследованиями в области теории систем массового обслуживания занимаются Ученые хабаровского отделения Института прикладной математики ДВО РАН. Список их научных достижений можно увидеть на сайте отделения. В ТОГУ (Тихоокеанский государственный университет) также сильные математики.  Как отмечается на сайте кафедры высшей математики этого вуза, тут наряду с продолжающимися прежними  исследованиями появились исследования в других направлениях, таких, как проблемы разрешимости оптимизационных задач, стохастические динамические системы, теория массового обслуживания, теория устойчивости систем разностных и дифференциальных уравнений.⁴

Победителем XXIII конкурса студенческих работ стал Владимир Валериевич Плизга, студент Новосибирского государственного технического университета, с работой "Построение моделей систем массового  обслуживания средствами пакета MATLAB+Simulink". В работе рассматривается применение инженерного пакета MATLAB и входящего в его состав комплекса Simulink для моделирования систем массового обслуживания (СМО). В качестве примера выполняется построение и моделирование СМО с параметрами M/M/1/10, однако серьезное внимание также уделяется возможностям усложнения модели с минимальными трудозатратами. Для построения модели используется библиотека SimEvents,

 

а также стандартные  блоки Simulink, обеспечивающие удобное  задание параметров и наглядное снятие результатов.⁵

Теория систем массового  обслуживания широко применяется для  обучения персонала, так в 2009году доктором технических наук, профессором Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии А.Ф. Рогачым проведено исследование экономических систем массового обслуживания с использованием компьютерных тренажеров с WEB-интерфейсом. Рассмотрено создание и применение компьютерных модельных тренажеров для исследования экономических систем массового обслуживания (СМО) при обучении и переподготовке менеджеров. Тренажеры разработаны на базе алгоритмических экономико-математических моделей СМО и оснащены созданным на основе гипертекстовых технологий WEB-интерфейсом для коллективного дистанционного использования.⁶

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В реферате рассмотрены  классические понятия теории системы  массового обслуживания. Описаны  типичные элементы, из которых состоят  системы массового обслуживания (входящий поток, его описание и основные особенности, очередь и ее дисциплина, обслуживающие приборы и особенности механизма обслуживания, входящий поток).

Задача теории систем массового обслуживания состоит  в выработке рекомендаций по рациональному  построению систем массового обслуживания рациональной организации их работы и регулирования потоков заявок с целью обеспечения более высокой эффективности обслуживания при малых затратах на создание и функционирование системы. Метод дает оптимальный вариант обслуживания населения, при котором время обслуживания будет минимальным, качество высоким, при этом не будет дополнительных затрат.

Однако в решении  практических задач часто возникают  ситуации, когда наблюдаемые статистические данные отклоняются от гипотезы, при этом оптимальные процедуры теряют свои привлекательные свойства. Поэтому постоянно ведутся исследования и последовательная проверка гипотез, а также разработка новых рекомендации для СМО.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

1. Ищенко Елена. Элита математиков собралась в Хабаровске/ Тихоокенская звезда от 12.09.2011
2. Матвеев В.Ф., УшаковВ.Г. «Системы массового обслуживания», учебник для вузов Москва 1994г
3. Хемди А. Таха // Введение в исследование операций— 7-е изд. — М.: «Вильямс», 2007.г.
4. Щитковец Виктор. Актуарии все более актуальны/Наука и Инновации №1(59) 2008

Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н.  Теория массового обслуживания. Изд.2, испр. и доп.  2012. 304 с.   Радченко Т.А., Дылевский А.В. Методы анализа систем массового обслуживания: Учебное пособие. - Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2007. - 63 с.

 

Интернет ресурсы:

1. http://ru.wikipedia.org/ Википедии — свободной энциклопедии
2. http://Stfw.Ru – Информацонно-новостной портал./ Подведены итоги XXIII конкурса методических разработок и студенческих работ образовательного математического сайта Exponenta.ru /Stfw.Ru: Москва, 29 февраля 2012 года.

¹ Материал из Википедии — свободной энциклопедии

²  Щитковец Виктор. Актуарии все более актуальны/Наука и Инновации №1(59) 2008

³ Матвеев В.Ф., УшаковВ.Г. «Системы массового обслуживания», учебник для вузов Москва 1994г

⁴ Елена Ищенко Элита математиков собралась в Хабаровске/ Тихоокенская звезда от 12.09.2011

⁵ Подведены итоги XXIII конкурса методических разработок и студенческих работ образовательного математического сайта Exponenta.ru Stfw.Ru: Москва, 29 февраля 2012 года.

⁶ Рогачев А.Ф. Исследование экономических систем массового обслуживания с использованием компьютерных тренажеров с WEB-интерфейсом/ Экономические науки №8(57) 2009