Экспонцеальное расспределение

Показательное (экспоненциальное) распределение. 
 
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью 
 
 
 
где - постоянная положительная величина. 
 
Мы видим, что показательное распределение определяется одним параметром . Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

 

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

непрерывное распределение  вероятностей случайной величины X, задаваемое плотностью

(1)

Плотность р(х).зависит от положительного масштабного параметра l. Формула для моментов: , в частности - для математич. ожидания и дисперсии ; характеристич. функция: (1-it/l)^-1.

П. р. входит в семейство  распределений, называемых гамма-распределениями и задаваемых плотностью

n-кратная свертка распределения  (1) равна гамма-распределению с  тем же самым параметром lи  с a=п. П. р.- единственное распределение, обладающее свойством отсутствия последействия: для любых х>0, у>0 выполняется равенство

(2)

где Р{ Х>х+у|Х>у} - условная вероятность события X>x+y при условии X>y. Свойство (2) называется также марковским свойством.

В однородном пуассоновском процессе расстояние между двумя последовательными скачками траектории имеет П. р. Наоборот, процесс восстановления с показательным временем жизни (1) является пуассоновским процессом восстановления. П. р. часто возникает как предельное при суперпозиции или разрежении процессов восстановления, в задачах пересечения высокого уровня в различных схемах блуждания, в критических ветвящихся процессах и т. п.

Упомянутыми выше свойствами объясняется широкое применение П. р. при расчетах различных систем в теории массового обслуживания и в теории надежности. Предполагая  времена занятости приборов случайными, независимыми друг от друга и распределенными показательно, можно благодаря свойству (2) изучать системы массового обслуживания с помощью конечных или счетных цепей Маркова с непрерывным временем. Аналогичным образом используются цепи Маркова и в теории надежности, где времена исправной работы отдельных приборов часто можно предполагать независимыми и распределенными показательно.

 

 

5.3 Экспоненциальное (показательное) распределение

Показательным (экспоненциальным)называют распределение вероятностей непрерывной СВ Т, которое описывается плотностью [5]:

(5.20)

где λ — постоянная положительная величина.

В определенных случаях принимают  λ=λ(t)=const, это можно делать когда:

— есть оборудование, у которого контроль перед вводом в эксплуатацию отсеивает  почти все дефектные элементы;

— есть элементы, которые практически  не стареют;

— у большинства элементов  имеется длительный период, на котором интенсивность отказов практически постоянна.

Из  выражения (5.20) видно, что показательное  распределение определяется одним  параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

Графики плотности и функции распределения  показательного закона показаны на рисунке 5.3.

Найдем  вероятность попадания в интервал (а, в) непрерывной СВ  Т. Эта вероятность есть приращение функции распределения непрерывной СВ Тна заданном интервале (см. рисунок 5.4).

Рисунок 5.3 — Графики плотности f (t) и функции

распределения F (t) показательного закона

Рисунок 5.4 — Приращение функции распределения в интервале (а, в)

Учитывая, что: F (a) = 1 – e-λa, F (в) = 1 – e-λв.

Получим:

P (a<T< в) = e-λa – e-λв. (5.21)

Числовые  характеристики показательного распределения  следующие:

— математическое ожидание:

mt = M (T) = 1/λ (5.22)

— дисперсия величины Т:

Д(T) = 1/λ2 (5.23)

— среднее квадратическое отклонение:

σt = = 1/λ    (5.24)

— среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа):

Tср = 1/λ. (5.25)

Показательное распределение широко применяется  на практике, в частности в теории надежности, одним из основных понятий  которой являются функция надежности и функция ненадежности.

Вероятность безотказной работы за время длительностью t будет равна:

R (t) = P (T > t) = 1 – F (t).           (5.26)

Функцию R (t), определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t   называют функцией надежности.

Функция распределения F (t) = Р(Т<t) определяет вероятность отказаза время длительностью t и называется функцией ненадежности.

На  практике длительность времени безотказной  работы элемента часто имеет показательное  распределение с функцией распределения:

F (t) = 1-e-λt.                         (5.27)

Поэтому, согласно выражению (5.26), функция надежности в случае показательного распределения  времени безотказной работы элемента будет иметь вид:

R (t) = 1 — F (t)= e-λt                  (5.28)

Функцию надежности, определяемую равенством (5.28), называют показательным законом надежности. Основное свойство этого закона состоит в том, что вероятность безотказной работы не зависит от времени предшествующей работы, а зависит только от рассматриваемого интервала времени. Это значит, что будущее поведение объекта не зависит от прошлого, если в настоящий момент он работоспособен.

Графики, характеризующие вероятность отказа Q (t) и вероятность безотказной  работы P (t), представлены на рисунке 5.5.

Рисунок 5.5 – Вероятность отказа Q (t) и  безотказной

работы P (t) при экспоненциальном законе распределения

 

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

 
 
 
Одна из  основных  характеристик СВ - математическое ожидание: 
 
                                                        (1.31) 
 
Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и обладает следующими свойствами: 
 
1. M[c] = c. 
 
2. M[cX] = cM[X]. 
 
3. M[X+c] = M[X]+c. 
 
4. M[X₁+X₂] = M[X₁]+M[X₂]. 
 
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т.е. то значение, для которого вероятность p 
_i (для дискретной СВ) или f(x) (для непрерывных СВ) достигают максимума. Обозначения: Mx, Mo. 
 
Медианой случайной величины X называется такое ее значение, для  которого выполняется условие P{X<Me} = P{XMe}. Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин. 
 
Квантилью _p случайной величины X является такое ее значение, для которого выполняется условие P{X<_p} = F(_p) = p. 
 
Начальный момент s-го порядка СВ X есть математическое ожидание s-й степени этой случайной величины: _s 
= M[X 
^s]. 
 
Центрированной случайной величиной называется отклонение СВ от математического ожидания: 
 
, . 
 
Моменты центрированной случайной величины - центральные моменты. 
 
Центральный момент порядка s СВ X есть математическое ожидание s-й степени центрированной случайной величины: 
 
. 
 
Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен 0. 
 
Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.  
Расчетные формулы: 
 
       (1.32) 
 
Вычислить дисперсию можно и через второй начальный момент: 
 
 .  
 
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и обладает следующими свойствами: 
 
1. D[c] = 0. 
 
2. D[X+c] = D[X]. 
 
3. D[cX] = c^2×D[X]. 
 
     [cX] = c[X]. 
 
Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называется характеристика 
 
                                                .                                       (1.33) 
 
СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ. 
 
Правило 3 
s 
. Практически все значения СВ находятся в интервале: 
 
                                                  [ m - 3s;   m + 3s; ].                                  (1.34) 
 
Пример 6.1. Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке. 
 
Решение. По условию задачи CB X принимает следующие значения: x₁=0; x₂=1;   x₃=2;  x₄=3.  Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно 
i  (i = 0, 1, 2, 3) нестандартных изделий, вычисляется по формуле 
 
 
 
откуда                                       p₁=0,41;  p₂=0,43;  p₃=0,11;  p₄=0,05. 
 
Дисперсию определим по формулам 
 
D[X] = M[X²] - (M[X])², 
 
M[X] = 0 0,41 + 1 0,43 + 2 0,11 + 3 0,05 = 0,8 , 
 
M[X²] = 0 0,41 + 1 0,43 + 2² 0,11 + 3² 0,05 = 1,32 , 
 
D[X] = 1,32 - (0,8)² = 0,68. 
 
Тогда  .