Элементы теории вероятностей

Элементы теории вероятностей

Случайные события и их вероятности

 

Событие. Достоверное событие. Невозможное событие. Случайное событие.

Элементарное событие. Пространство элементарных событий (полная группа событий). Составное событие. Дополнение. Несовместные события. Равновозможные события.

Независимые события. Зависимые события. Правила действий над событиями.

Аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса).

 

1. Основные понятия теории вероятностей.

В теории вероятностей событием А называют всё то, что может произойти, а может и не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий G. Событие наступает в результате реализации различных процессов, которые называют опытами (экспериментами).

Примеры событий:

А1 - появление орла при бросании монеты;

А2 - выпадение чётного числа очков при игре в кости;

А3 - выход из строя компьютера после пяти часов работы;

А4 - замерзание воды при сильном морозе;

А5 - после января следует апрель.

Все эти события отличаются в первую очередь тем, что возможность их появления различна. Одно событие (А4) происходит всегда, другое (А5) никогда не наступает, остальные могут произойти или не произойти в результате проведения одного опыта.

Если при реализации условий G событие А всегда происходит, то оно называется достоверным (событие А4). Если же событие при заданных условиях никогда не наступает, то его называют невозможным (событие А5).

Если в результате опыта при реализации определённого комплекса условий данное событие может наступить или не наступить, то оно называется случайным. Условия проведения такого опыта часто называют случайным опытом (экспериментом). Очевидно, что после бросания игральной кости чётное число может выпасть, но оно может и не выпасть. Через пять часов после включения компьютер может быть исправным, но может и выйти из строя.

Элементарными называют события, не разложимые на более простые.

Пусть при данных условиях проводится случайный опыт, в результате которого обязательно наступает одно и только одно из возможных элементарных событий. Множество Q всех элементарных событий wi образует пространство элементарных событий, или полную группу событий. Например, при бросании игральной кости множество элементарных событий Q образует полную группу из шести элементарных событий wi (выпало одно очко, выпало два очка и т. д.):

Q = {w1=1, w2=2, w3=3, w4=4, w5=5, w6=6}.

Наряду с элементарными рассматриваются так называемые составные, или разложимые события. Событие В называется составным, если можно указать, по меньшей мере, два таких элементарных события w1 и w2, что из существования каждого из них в отдельности следует существование события В. Этот факт записывается в виде:

В = {w1, w2}.

Используя введённую ранее терминологию, случайным событием А называют любое подмножество S пространства элементарных событий (S Ì Q). Содержательно это означает, что появление любого из элементарных событий, входящих в S, влечёт за собой появление события А.

Например, при бросании игральной кости составное событие А = {число очков чётное} можно записать так: А = {2, 4, 6}, подразумевая при этом, что если выпадет число 2 или 4, или 6, то наступит событие А.

Дополнение (противоположное к А) – это событие ØА (читается «не А»), состоящее в ненаступлении события А.

Пусть в урне 12 шаров, среди которых одна половина белых, а другая – чёрных. Тогда, если А – «вынуть белый шар», то ØА – «вынуть не белый шар».

События А1, А2, … Аn называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произойти одновременно. Это означает, что среди событий А1, А2, … Аn нельзя найти такую пару событий Аi и Аj, в которой обнаружилось бы хотя бы по одному общему элементарному событию.

Например, при однократном бросании игральной кости выпадение чётного и нечётного числа – несовместные события. Несовместными являются также промах и попадание при одном выстреле по мишени.

События  А1, А2, … Аn называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно событие встречается чаще, чем другое. Например, выпадение орла или решки при бросании монеты.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет шансы появления другого. Например, одновременно бросаются две игральные кости. Появление на одной из них трёх очков никоим образом не зависит от того, какое количество очков появилось на верхней грани другой кости.

Если появление одного события влияет на появление другого, то такие события называются зависимыми.

Рассмотрим пример. В урне два красных и два чёрных шара. Вынимается один шар, записывается его цвет, и шар откладывается в сторону. Затем вынимается второй шар. Событие А – первый вынутый шар красный. Событие В – второй вынутый шар тоже красный. Очевидно, что эти события зависимы: если первым вынули красный шар, то шанс вынуть красный шар и во втором опыте будет меньше, чем если бы первым был вынут чёрный шар.

2. Правила действий над событиями.

Объединением (суммой) событий А1, А2, … Аn называется событие А, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий:

А = А1

А2 … Аn = А1 + А2 + … + Аn.

Пример. В урне 6 шаров, которые отличаются только номером (1, 2, 3 и т.д.). Пусть событие Ai – «наугад выбрать шар под номером i». Тогда событие А = А1 + А3 + А5 состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3, или 5, т.е. с нечётным номером.

Пересечением (произведением) событий А1, А2, … Аn называется событие В, состоящее в обязательном наступлении всех этих событий:

В = А1

А2 … Аn = А1 × А2 ´ … ´ Аn.

Пример. В урне 12 шаров, среди которых одна половина белых с номерами от 1 до 6, а другая – чёрных с такими же номерами. Пусть событие А – «вынуть белый шар», событие В – «вынуть шар с нечётным номером». Тогда событие С = А × В означает «вынуть белый шар и с нечётным номером».

Разностью событий А и В (А – В) называется событие D, заключающееся в наступлении события А при одновременном ненаступлении события В:

D = A – B.

Для предыдущего примера разность D = A – B означает «вынуть белый шар с чётным номером».

3. Аксиомы теории вероятностей.

Числовая функция Р(А) называется вероятностью события А, если она удовлетворяет следующим аксиомам.

1. Вероятность Р(А) есть неотрицательное число, заключённое между нулём и единицей: 0 £ Р(А) £ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

4. Классическое определение вероятности.

Рассмотрим полную группу из n несовместных равновозможных событий.

Примерами таких групп являются число очков при бросании игральных костей, число попаданий в мишень при выстрелах, проводимых в одинаковых условиях, появление шара с заданным номером при наличии в урне нескольких неразличимых на ощупь шаров.

Пусть среди всех n возможных исходов опыта, только m исходов, образующих m-подмножество в полной группе, влекут за собой наступление события А. Случаи, входящие в m-подмножество будем называть благоприятными.

Например, в урне два белых, три чёрных и пять красных одинаковых на ощупь шаров. Будем считать благоприятным выбор белого шара; таких случаев два. Появление же чёрного или красного шара – случай неблагоприятный; таких случаев восемь.

Классическая вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных событию А случаев к общему числу исходов опыта:

P(A) =

,  где m – число элементарных исходов, благоприятных событию А,

       n – общее число всех элементарных равновозможных исходов опыта,

          0 £ m £ n.

 

Алгоритм применения классической формулы для вычисления вероятностей при решении задач следующий:

1. удостоверяются в том, что возможные исходы образуют полную группу несовместных равновозможных событий;
2. выбирается интересующее нас случайное событие А;
3. вычисляется число возможных исходов (n) и число благоприятных исходов (m);
4. вычисляется искомая вероятность P(A).

 

Задача 1. Игральная кость бросается один раз. Какова вероятность выпадения чётного числа очков?

Решение.

1. Пусть событие А – выпадение чётного числа очков. Таких исходов может быть три – числа 2, 4 или 6, т.е. m=3.
2. Общее количество возможных исходов n=6.
3. Получаем: P(A) .·

Задача 2. Монета бросается один раз. Какова вероятность выпадения герба?

Решение.

Рассуждая по аналогии с предыдущей задачей, имеем: m=1, n=2.

Искомая вероятность P(A) .·

Задача 3. Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпадения орла хотя бы один раз (событие А); 2) двукратного выпадения орла (событие В)?

Решение.

1. Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ОО, ОР, РО, РР; число их n=4.
2. Событию А благоприятствуют исходы ОО, ОР, РО, число которых m=3. Следовательно:

P(A)

.

3. Событию В благоприятствует один исход ОО (m¢=1). Поэтому:

P(В)

.·

Задача 4. Опыт заключается в подбрасывании двух монет: медной и серебряной. Какова вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет орёл?

Решение.

1. Равновероятными элементарными исходами опыта являются следующие:

w1 – орёл выпал на обеих монетах,

w2 – орёл выпал только на медной монете,

w3 – орёл выпал только на серебряной монете,

w4 – орёл не выпал ни на одной монете,

т.е. n=4.

2. Благоприятствуют событию А (появлению орла хотя бы на одной монете) исходы w1, w2 и w3, т.е. m=3.
3. Получаем: P(A) .·

Задача 5. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? (Точный смысл выражения «наугад вынимается шар» будет выяснен в процессе решения.)

Решение.

1) В этой задаче рассматривается  следующий опыт: из ящика наугад  вынимают шар и смотрят его  цвет. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из двух событий: Ч = «вынутый шар чёрный» и Б = «вынутый шар белый». Но эти исходы неравновероятны, т.к. белых шаров больше и шансов вынуть белый шар больше.

2) Для выявления в этом опыте  множества равновероятных исходов внесём в опыт дополнительный элемент, не нарушающий вероятностной структуры задачи, а именно, перенумеруем все шары. Белым шарам поставим в соответствие номера с 1 по 12, а чёрным — номера с 13 по 20.

3) События Аk = «вынут шар с номером k» уже равновероятны, так как шары на ощупь неотличимы и вынимаются наугад. Кроме того, эти 20 событий образуют множество исходов нашего опыта. Следовательно, n = 20, а интересующему нас событию B = «вынутый шар белый» благоприятствуют первые 12 исходов, т. е. т = 12.

Получаем: P(В) .

4) Точный смысл выражения «наугад  вынимается шар» состоит в  том, что введенные события  Аk равновероятны. ·

 

При решении задач вычисления вероятностей часто оказываются полезными формулы комбинаторики.

 

Задача 6. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

Решение.

1. Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (x, y), где x и y принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Общее число элементарных исходов n=36 (см. применение правила произведения: задача 13, в разделе «Структуры на множестве. Элементы комбинаторики.»).
2. Событию А благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), число которых m=5.
3. Получаем: P(A) .·

Задача 7. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Решение.

1. Две последние цифры можно набрать числом способов, равным числу упорядоченных двухэлементных подмножеств у десятиэлементного множества (множества всех цифр). Это число способов равно А102 (см. раздел, посвящённый комбинаторике). Следовательно, всего существует n = А102 исходов.
2. Благоприятствует событию А (цифры набраны верно) только один исход (m=1).
3. Получаем: P(A) .·

Задача 8. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?

Решение.

1. Выбор трёх ламп из 100 – это число сочетаний из 100 по 3 (С3100), т.к. порядок выбора ламп не имеет значения. Лампы выбирают наудачу. Это означает, что все эти способы выбора (все исходы) равновероятны. Имеем число возможных исходов:

n = С3100

.

2. Число благоприятных исходов – это три лампы из 95 исправных, т.е. число сочетаний из 95 по 3:

m = С395

.

3. Искомая вероятность P(A) .·