Элементы векторной алгебр и аналитической геометрии

 

Элементы  векторной алгебр и аналитической  геометрии 

 

Задача 1.  Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется:

1) вычислить скалярное произведение  векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе.

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k, d=19i+30j+7k;

1) -7a, 4c;   2) 3a, 7b;   3) a, c.

1. Вычислить скалярное произведение векторов из пункта:

      

2) найти модуль векторного произведения  векторов;

3) проверить коллинеарность и  ортогональность векторов  и ;

Вектора коллиниарны  если , или векторное произведение :

,

т.е. вектора  и неколлиниарны.

Вектора и перпендикулярны если их скалярное произведение .

Т.е.  и неперпендикулярны.

4) Убедиться, что векторы a,b,c образуют базис;

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k

В пространстве образует базис любая тройка некомпланарных векторов. Вектора некомпланарны, когда их смешанное произведение не равно 0;

Следовательно вектора образуют базис.

5) Найти координаты вектора d=19i+30j+7k в базисе векторов a,b,c.

Получили систему:

Решим систему методом Крамера:

,  , ,

; ;

Задача 2. Даны вершины A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) треугольника ABC.

Требуется найти:

1. уравнение стороны AB;

Уравнение прямой, проходящей через две точки А и В  имеет вид:

АВ:

2. уравнение высоты CH и длину этой высоты;

Общее уравнение прямой имеет вид:

, где - координаты вектора нормали.

Определим a и b для прямой АВ:

Вектор нормали  одновременно является направляющим вектором прямой СН. Тогда каноническое уравнение высоты будет иметь вид (с учетом того, что прямая проходит через точку ):

Длина высоты СН равна модулю проекции вектора АС или ВС на направление вектора

 

3. уравнение меидианы AM;

Определим координаты точки  М:

Тогда уравнение АМ, проходящей через 2 точки имеет вид:

4. точку N пересечения медианы AM и CH;

 

5. уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;

Вектор 

Тогда каноническое уравнение искомой  прямой будет иметь вид:

6) внутренний угол  при вершине A и внешний угол при вершине C.

A(-2,-3), B(1,6), C(6,1).

 

Задача 3. Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 – 3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F – фокус кривой, – эксцентриситет, 2 c – фокусное расстояние, – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, A, B– точки, лежащие на кривой.

1. Составить каноническое уравнение эллипса, если

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Подставим координаты точки  А в уравнение и получим:

Искомое каноническое уравнение эллипса имеет вид:

2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если

Каноническое уравнение  гиперболы имеет вид:

Точка А является одной  из точек пересечения гиперболы  с осью ОХ. Следовательно .

Зная точку В найдем фокусное расстояние с гиперболы.

Следовательно уравнение  искомой гиперболы будет иметь  вид:

3. Составить каноническое уравнение параболы, если известна директриса

Каноническое уравнение  искомой параболы имеет общий  вид:

Директриса записывается виде

Следовательно искомое  уравнение имеет вид:

Задачи 4. Даны четыре точки A₁(x₁,y₁,z₁), A₂(x₂,y₂,z₂), A₃(x₃,y₃,z₃), A₄(x₄,y₄,z₄). Требуется найти:

   1) уравнение плоскости A₁A₂A₃;

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:

 

 

   2) уравнение прямой, проходящей через точку A₄, перпендикулярно плоскости A₁A₂A₃; 

Направляющий вектор прямой совпадает с вектором нормали  плоскости A₁A₂A₃ координаты которых определяются как

Каноническое уравнение  искомой прямой принимает вид:

4. расстояние от точки A₄ до плоскости A₁A₂A₃ находится как:

5. синус угла между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃;
6. Уравнение прямой A₁A₄ имеет вид:

Направляющий вектор прямой A₁A₄ . Тогда

  6) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A₁A₂A_3.

A₁(7,5,3), A₂(9,4,4), A₃(4,5,7), A₄(7,9,6).

Косинус угла между плоскостями определяется как косинус угла между его нормалями: