Класификация текстовых задач

         Классификация текстовых задач

Текстовые задачи классифицируются:

1.Задачи на  проценты

• на смеси и сплавы

• банковские проценты

2. Задачи на  движение

• совместное движение

• закон сложения скоростей

3. Задачи на  совместную работу

Напомним некоторые  общеизвестные факты и практические приемы, которые используются при  решение текстовых задач.

Процент - это сотая часть. Например, 2% равны двум сотым, т.е. 0,02; 20% равны 0,2; 25% равны 0,25 и т.д.

Существуют три  основных вида задач «на проценты»:

1. Найти число a, составляющее n процентов от числа b.

Решение. a= n/100•b

2. Обратная задача: найти число b, если n процентов от него равна a.

Решение. b=a ÷ n/100.

3. Найти, сколько процентов составляет число a от числа b.

      Решение. n = a/b •100.

В задачах на сплавы и растворы часто встречается  процентное содержание элемента, которое  равно 

m(элемента в сплаве или растворе)÷m(сплава или раствора) •100%.

При решение задач на движение полезно сразу переводить все данные в одни и те же единицы измерения. Например, если дано, что сначала движения пешехода прошло 2 ч 15 мин, его скорость равна 4 км/ч, выразим время в часах (2 ч 15 мин, = 2¼ч), сразу получим расстояние          4• 2¼= 9(км).

Начнем с задач, описывающих движение двух участников. В задачах на совместное движение участники не всегда  одновременно начинают движение и не всегда одновременно его заканчивают. Поэтому очень важно выделить участок или участки пути, на которых действительно происходит совместное движение.                                                                                 В некоторых задачах полезно найти скорость сближения (или удаления) участников - величину, показывающую, насколько уменьшается (или увеличивается) расстояние между участниками движения в единицу времени.

Скорость  сближения или удаления равна сумме скоростей участников при их движении в противоположных направлениях (навстречу друг другу или друг от друга).                                                                                                  При движении участников в одном направлении (один убегает, другой догоняет) скорость сближения или удаления равна модулю разности их скоростей.                                                                                                                              В ряде задач на движение учитывается скорость ветра при движении самолетов, скорость течения при движении по реке. В задачах такого типа рассматриваются две основные скорости - собственная скорость самолета, корабля, лодки, создаваемая двигателем или усилием людей при работе на веслах, т.е. скорость движения при отсутствии ветра или в стоячей воде, и скорость ветра или течения. Как правило, если собственная скорость или скорость ветра (течения) не даны, то именно их обозначают переменными. Две другие скорости – скорость по ветру или течению и скорость против ветра или течения – можно выразить через основные скорости (через сумму или разность). Далее решаем задачу, как любую другую задачу на движение.                                          Решение задач на совместную работу во многом аналогично решению задач на совместное движение. Нужно только учесть, что если работа не измерена в конкретных единицах (количество изделий, страниц, кубических метров воды и т.д.), полезно принять весь объем работы за единицу.

 

 

 

Задача  на проценты.

С двух участков ежегодно собиралось 500 тонн пшеницы. После агротехнических  мероприятий урожай на первом участке  увеличился на 30 %, а на втором - на 20 %.Поэтому с двух участков собрали 630 тонн пшеницы. Сколько пшеницы  собирали с первого участка первоначально?

Решение. Пусть  с первого участка собирали х  т пшеницы, тогда со второго – (500-х) т.                                                                                                              После проведения агротехнических  мероприятий с первого участка  стали собирать 1,3х т пшеницы, а что второго – 1,2(500-х) т. С  двух участков стали собирать (1,3х+1,2(500-х)) т, что по условию задачи составляет 630 т. Составим и решим уравнение.

1,3х+1,2(500-х)=630; х=300.

Таким образом, с  первого участка до проведения агротехнических  мероприятий собирали 300 т пшеницы.

Ответ:300.

Задача  на смеси и сплавы.

Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60 % олова, и 900 г сплава олова и меди, содержащего 80 % олова. Сколько процентов олова  в получившемся сплаве?

Решение. Масса  олова в первом сплаве равна 0,6 •300 г = 180 г, во втором- 0,8 •900 г = 720г.                                                                                                  Тогда масса олова в новом  сплаве 180 г + 720 г = 900г, масса нового сплава равна 300 г + 900 г = 1200г, процентное содержание олова в нем равно 900г/1200г •100%= 75%.

Ответ: 75.

Задача  на банковские проценты.

Денежный вклад  в банк за год увеличивается на 12 %. Вкладчик внес в банк 15 тысяч  рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго  года иметь на счету не менее 20 тысяч  рублей. Какую наименьшую сумму (в рублях без копеек) он должен положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке(12%) реализовывать этот план?

Решение. По окончании  первого года на счету было 15000+1,12= 16800 рублей. Пусть после этого  вкладчик положил на счет еще х  рублей. Тогда по окончании второго  года на счету будет(168000+х) •1,12 рублей. Получаем неравенство(168000+х) •1,12 ≥20000. Решив его: х≥1057⅛.

Наименьшее целое  число, удовлетворяющее неравенству,- число 1058.

Ответ: 1058.

Задача  на движение.

На путь между  двумя деревнями пешеход затратил на 4 часа 30 минут больше, чем мотоциклист. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, скорость пешехода составляет 1/10 скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревнями.

Решение. Во-первых, найдем скорость пешехода. Она равна                         1/10 • 40 = 4 (км/ч).

Пусть мотоциклист  может проехать расстояние между  деревнями за х ч, тогда пешеход может пройти это расстояние за (х+4,5) ч. Таким образом, пешеход пройдет 4(х+4,5) км, мотоциклист проедет 40 х км.

Так как по условию  задачи эти величины равны, получим  уравнение 4(х+4,5) = 40х, откуда х= 0,5.                                                                                  Следовательно, расстояние между деревнями  равно 0,5•40=20 (км).

Ответ: 20.

Задача  на совместное движение.

Из Смоленска  в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя 1 ч 40 мин из Москвы в  Смоленск отправился поезд, скорость которого равна 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстояние между городами рано 420 км?

Решение. Совместное движение началось в момент выхода из Москвы первого поезда. К этому  времени второй поезд прошел 70 •5/3 = 350/3(м) и расстояние между поездами сократилось до 420 – 350/3 = 910/3(км).

Закончилось совместное движение их встречей.                                                         Итак, на протяжении 910/3 км поезда сближались со скоростью 

70 + 60 = 130 (км/ч) за 910/3 ÷ 130 = 2⅓(ч)

Тогда поезд из Смоленска шел до встречи 1 ⅔ + 2⅓ = 4(ч).

Ответ: 4.

Задача  по закону сложения скоростей.

Катер, собственная  скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от одной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время  спасательный круг, упавший за бот  с катера, проплывет 25 км. Найдите  время движения катера вверх по реке.

Решение. В данной задаче основные скорости - собственная  скорость катера, равная 15 км/ч, и скорость течения, которая не дана. Обозначим  скорость течения за х км/ч.

Тогда на путь по течению катер со скоростью (15+х) км/ч затратил                    60/15+х ч, а на путь против течения катер со скоростью (15-х) км/ч затратил 60/ 15-х ч.

Спасательный  круг проплывет 25 км по течению реки зи 25/х км/ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер хатратил такое же время, за какое спасательный круг проплывет 25 км, составим уравнение.

Для упрощения  вычислений разделим обе части уравнения  на 5 и получим:

Так как по условию  задачи 0< x <15, т.е. знаменатели всех дробей в уравнение отличены от нуля, умножим обе части уравнения на (15+х)(15-х)х и получим уравнение, равносильное данному:

(12(15-х)+12(15+х))х= 5(15+х)(15-х).

Приведем полученное уравнение к квадрадному:

х² +72х – 225=0.

Уравнение имеет  единственный положительный корень х=3, отрицательный корень не удовлетворяет  условию задачи. Итак, скорость течения  равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке: 60/15-3= 5(ч).

Ответ: 5.

Задача  на совместную работу.

Заказ по выпуску  машин завод должен был выполнить  за 20 днейю Но завод выпускал ежедневно  по 2 машины сверх плана, а поэтому  выполнил заказ за 18дней. Сколько  машин выпустил завод.?

Решение. Пусть  завод должен был выпускать х  машин в день, тогда заказ составляет 20х машин.

На самом деле завод выпустил (х+2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(х+2) машин. По условию задачи 20х=18(х+2), откуда х=18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.

Ответ: 360.