Классическое и статическое определение вероятности

 

 

 

Классическое и статическое  определения вероятности  

Оглавление

Введение 3

Классическое  определение вероятности: 4

Статическое определение вероятности: 10

Вывод: 13

Литература: 14

 

 

 

 

Введение

Вероятность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — невероятным или маловероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей^[1]. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности 

Классическое  определение вероятности:

Рассмотрим классическое определение вероятности. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть  в урне содержится 6 одинаковых, тщательно  перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Очевидно, возможность  вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый  шар. Можно ли охарактеризовать эту  возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень  возможности появления события.

Поставим перед собой  задачу дать количественную оценку возможности  того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать  в качестве события А. Каждый из возможных  результатов испытания (испытание  состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через w₁, w₂, w₃ и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w₁ - появился белый шар; w₂, w₃ - появился красный шар; w₄, w₅, w₆ - появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие  наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию A (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w₂, w₃, w₄, w₅, w₆.

Таким образом, событие А  наблюдается, если в испытании наступает  один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих A; в нашем  примере А наблюдается, если наступит w₂, или w₃, или w₄, или w₅, или w₆. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w₂, w₃, w₄, w₅, w₆); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов  к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через  Р (А). В рассматриваемом примере  всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар  окажется цветным, равна Р (A) = 5 / 6. Это  число и дает ту количественную оценку степени возможности появления  цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью  события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число  всех возможных элементарных исходов  испытания.

Здесь предполагается, что  элементарные исходы несовместны, равновозможны  и образуют полную группу. Из определения  вероятности вытекают следующие  ее свойства:

 

 

 

С в о й с т в  о 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие  достоверно, то каждый элементарный исход  испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,

Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в о й с т в  о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие  невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в о й с т в  о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть  из общего числа элементарных исходов  испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 <= Р (A) < 1.

Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным  вероятностям одних событий находить вероятности других событий.

З а м е ч а н  и е. Современные строгие курсы  теории вероятностей построены на теоретико-множественной  основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.

Пусть в результате испытания  наступает одно и только одно из событий w_i, (i = 1, 2, ..., n). События w_i, называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называютпространством элементарных событий W, а сами элементарные события - точками пространства W.

Событие А отождествляют  с подмножеством (пространства W), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество W, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножествW. Само W наступает при любом исходе испытания, поэтому W - достоверное событие; пустое подмножество пространства W - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них  содержит только один элемент W.

Каждому элементарному исходу w_i, ставят в соответствие положительное число p_i - вероятность этого исхода, причем

 

По определению, вероятность  Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность  события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена  между нулем и единицей.

Рассмотрим важный частный  случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А  равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р (А) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.

Учитывая, что число слагаемых  равно m, имеем

Р (А) = m / n.

Получено классическое определение  вероятности.

Построение логически  полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении  случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре-деляемыми понятиями  являются элементарное событие и  вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А  поставлено в соответствие неотрицательное  действительное число Р (А). Это  число называется вероятностью  события А.

2. Вероятность достоверного  события равна единице:

P(W) = l.

3. Вероятность наступления  хотя бы одного из попарно  несовместных событий равна сумме  вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между  ними выводят в качестве теорем.

 

Статическое определение вероятности:

Классическое определение  вероятности Р(А) события А как отношения числа благоприятных элементарных исходов m к числу всех элементарных исходов n предполагает, что все элементарные исходы равновероятны. Однако, это условие далеко не всегда выполняется,поэтому мы сейчас введем еще одно определение вероятности - статистическое (или частотное).  
 
Как оценить вероятность интересующего нас события, если в процессе испытания элементарные исходы вовсе не обязаны быть равновероятными? Строго говоря, необходимо было бы много раз проделать интересующий нас опыт и узнать частоту реализации различных элементарных исходов. В пределе, при увеличении числа испытаний, отношение числа m реализованных событий А к общему количеству испытаний n и будет определять вероятность Р(А)=m/n. 
 
Важно понимать, что статистический подход не противоречит классическому, а лишь расширяет границы возможного применения аппарата теории вероятностей. Поэтому все приемы, которые Вы уже освоили в рамках классической схемы, можно будет использовать и в дальнейшем.  
 
Для решения практических задач нам понадобятся следующие важные теоремы.  
 
1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий: 
 
P(A + B) = P(A) + P(B) - вероятность наступления в результате эксперимента хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностейэтих событий.  
 
Обсуждение. Напомним, что события А и В называются несовместными, если в результате опыта они не могут появиться вместе. (Пожалуйста, не путайте их с независимыми событиями, которые мы обсуждали в прошлом разделе. Независимые события могут спокойно сосуществовать друг с другом.)

Пример. По статистике, в прошлом году 10% жителей нашего города встретили Новый год в отъезде, 40% ходили в гости или в ресторан, оставаясь в городе, остальные встречали Новый год дома. Считая, что эта тенденция сохранится, посчитайте вероятность того, что житель нашего города встретит Новый год дома. 
 
Решение: здесь можно смело пользоваться теоремой сложения вероятностей, т.к. события встречи Нового года в разных местах одним и тем же человеком - несовместны. Поэтому все, кто встретит Новый год в гостях или в другом городе (они составят вместе 40%+10%), не смогут встретить его дома. Принимая общее число жителей города за 100%, найдем, что 50% оставалось дома в прошлый раз. Полагая, что эти же пропорции сохранятся и в этом году, найдем, что вероятность встретить Новый год дома для жителя нашего города равна Р=0,5. (Заметим, что в данном случае нам было удобно посчитать сначала вероятность обратного события, а потом вычесть результат из 100%.)

Что произойдет, с нашими оценками, если исходные события не являются несовместными? Давайте немного  изменим предыдущий пример.

Пример. Владелец фирмы частных такси хочет сделать прогноз количества клиентов на новогоднюю ночь. Пусть, по его сведениям, в прошлом году Новый год встретили дома 50%, в компании друзей или родственников, но не выезжая из города - 80%, в отъезде были 10%. Почему у него получилось в сумме больше 100%?  

 
Видимо, каких-то жителей он посчитал больше одного раза. Скорее всего, тех, кто сидел дома, но, одновременно, принимал друзей или родственников, которые пришли к нему в гости. Поскольку эти события не являются несовместными, просто складывая вероятности, он завышает свои оценки.  
 
Впрочем, это относится не только к оценке вероятности события, но и к решению любых задач на подсчет элементов объединения двух множеств путем сложения. Если множества частично перекрываются, сумма их элементов будет больше, чем реальное количество элементов, поскольку при арифметическом сложении элементы этого "перекрытия" мы невольно посчитали дважды, и как входящие в первое множество, и как входящие во второе. Выход здесь один: мы должны заметить, что множества частично "перекрываются", посчитать число элементов в их общей части и вычесть это число из суммы (т.к. при суммировании мы его посчитали дважды).

В случае подсчета вероятности  события С, которое наступает  или при наступлении события  А, или при наступлении события  В, если А и В не являются несовместными, можно воспользоваться следующей  теоремой:  
 
2. Общая теорема сложения вероятностей: 
 
Р(С)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где Р(АВ) - вероятность одновременного наступления и события А, и события В.

 

Вывод:

 

Литература:

http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page12.html

http://www.mathelp.spb.ru/book2/tv6.htm