Количественные натуральные числа. Счёт. Взаимосвязь количественных и порядковых чисел

Решение задач с пропорциональными величинами

Задачи на нахождение четвёртого пропорционального

В начальных классах дети знакомятся с тройками пропорциональных величин:

- цена, количество стоимость;

- скорость, время, расстояние;

- длина, ширина, площадь;

- масса одного предмета, количество предметов, общая масса;

- расход материала на  одну вещь, количество вещей, общий  расход;

- производительность труда (выработка в единицу времени), время работы, общая выработка;

- урожайность (урожай с единицы площади), площадь, общий урожай.

С этими величинами можно особо выделить 3 вида составных задач:

1. на нахождение четвёртого пропорционального;
2. на пропорциональное деление;

на нахождение неизвестного по двум разностям. Первый из этих видов вводится в 3 классе, а второй и третий – в 4 классе.

В задачах на нахождение четвёртого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым.

Рассмотрим особенности работы над задачами на нахождение четвёртого пропорционального с величинами: цена, количество, стоимость.

На подготовительном этапе:

1. Формируются представления о величинах и единицах измерения: группа величин: цена, количество, стоимость.

Работа над этими величинами начинается в 1 классе. Например, организуется игра в магазин. На доске предметы и цены. 1 ученик – продавец, второй ученик – покупатель, класс – контролёры.

2. Отрабатывается нахождение значений каждой величины. Для наблюдения за нахождением значений одной величины через другие используются таблицы. На этих простых задачах учащиеся находят значения одной величины, зная значение двух других величин этой группы.
3. Отрабатывается взаимосвязь между величинами. Для достижения этой цели решаются тройки взаимообразных задач.

С = Ц ∙ К          

Ц = С : К                              

К = С : Ц

 Ту же самую схему  используем с величинами: скорость, время, расстояние.

Из прямой задачи учащиеся должны составлять обратную задачу.

Итогом должно быть умение детьми находить одну величину через две других. Это является основой для овладения способами решения.

Ознакомление:

В ходе решения простых задач отрабатываются правила нахождения одной из величин по двум другим, пропорциональным ей: например, как найти цену, зная стоимость и количество:

Книга стоит 20 рублей.

Сколько стоит 5 таких книг?

После этого можно перейти к решению составных задач.

Текст задачи

За 5 метров ткани заплатили 40 рублей. Сколько стоят 7 метров такой же ткани?

Краткая запись условия

Запись условия задач с пропорциональными величинами оформляется в виде таблицы:

Разбор

На начальном этапе разбор таких задач осуществляется аналитическим (от вопроса к данным) способом:

- Что известно в задаче? (Что за 5 метров ткани заплатили 40 рублей.)

- Что ещё дано в условии задачи? (7 метров такой же ткани.)

- Какой главный вопрос  в задаче? (Сколько стоят 7 метров ткани?).

- Можем ли мы сразу  ответить на главный вопрос  задачи? (Нет.)

- Что для этого нужно  знать? (Для того, чтобы найти стоимость, нужно знать цену и количество.)

- Количество известно, а  что сказано про цену? (Что она одинаковая.)

- Как же найти цену  по стоимости и количеству? (Нужно стоимость (40 р.) разделить на количество (5 м).)

- Найдя цену, как узнаем  стоимость 7 метров ткани? (Цену умножим на количество метров.)

Запись решения

1 способ – по действиям с пояснением:

1)  40 : 5 = 8 (р.) – стоит 1 м  ткани.

2)  8 ∙ 7 = 56 (р.) – стоят 7 м ткани.

     Ответ: 56 рублей.

2 способ – составлением выражения:

40 : 5 ∙ 7 = 56 (р.).

     Ответ: 56 рублей.

В дальнейшем от аналитического способа разбора можно переходить к синтетическому (от данных к вопросу), а краткую запись условия можно сделать более компактной:

5 м – 40 р.

7 м – ? р.

Проверка решения выполняется способом составления и решения обратных задач.

Закрепление:

- решение задач данного вида;

- упражнения творческого  характера;

- упражнения на составление  задачи по её решению;

-  составление задач  с заданными величинами.

Методика обучения младших школьников  математике в дочисловой (подготовительный) период

План:

Задачи изучения тем «Свойства предметов», «Геометрические фигуры».

Методика обучения выделению предметов, обладающих указанным свойством, сравнению предметов по их взаимному расположению, по размерам. Обучение сравнению групп предметов через составление пар. Формирование представлений о некоторых геометрических фигурах. Организация деятельности учащихся в дочисловой период.

Цели подготовительного периода: в дочисловой период обучения математике учителю необходимо:

• выявить запас математических знаний и умений у детей, поступивших в 1 класс;
• подготовить их к работе над первой темой программы – нумерацией чисел в пределах 10;
• направить работу на адаптацию учащихся;
• формировать у учащихся общеученических умений и навыков.

На подготовительном этапе проводится изучение свойств предметов, с помощью которых выделяются те или иные совокупности (цвет, форма, материал, назначение и т.д.)

Сначала идёт работа над формированием операции анализ через синтез: учитель показывает детям разные предметы, а они стараются заметить и назвать как можно больше его свойств (например, блюдце – голубое, круглое, ставится под чашку, стеклянное и т.д.).

Работу по формированию операций сравнение и обобщение начинают со сравнения предметов по цвету.

Учитель показывает группы по 2-3 предмета одинакового цвета:

• Какого цвета предметы?
• Назовите другие цвета.
• Назовите три предмета белого (синего, розового  и т.д.) цвета.

Аналогичная работа посвящена вопросу о форме тел. Начать работу надо также с рассмотрения реальных предметов. Учитель показывает ученикам по 2-3 предмета одинаковой формы (шара, цилиндра, параллелепипеда, конуса, пирамиды). Ученики должны найти сходство и различие этих предметов. Названия тел можно сказать детям, но специально заучивать их не следует. Гораздо важнее акцентировать внимание на поиск предметов той же формы (воздушный шар-апельсин-арбуз; бочка-бревно-банка; коробка-пенал-классная комната и т.д.).

К уроку знакомства с формами плоских фигур (круг, треугольник, прямоугольник, квадрат) целесообразно подготовить дидактическое пособие, которое затем можно использовать и на последующих уроках. Оно состоит из геометрических

фигур трёх форм (круги, квадраты, треугольники), двух размеров (большие и маленькие) и четырёх цветов (красные, синие, жёлтые и зелёные) – по 4 одинаковые фигуры каждого вида.

Упражнения, способствующие интенсивному развитию мыслительных операций, речи, творческих способностей, вариативного мышления:

• Какая форма у фигур? Какой размер? Какой цвет?
• Найдите 2 какие-нибудь одинаковые фигуры. Назовите их признаки (например, большие красные квадраты).
• Покажите 2 разные фигуры. По каким признакам они отличаются? Есть ли у них общие признаки?

На последующих уроках задания постепенно усложняют:

• Найдите большой синий, но не квадрат.
• Выложите одну за другой фигуры так, чтобы каждая последующая отличалась от предыдущей одним признаком.

При изучении фигур и их названий следует обратить внимание детей на предметы, которые имеют такую же форму: форму круга – дно стакана, консервной банки и т.д.; форму прямоугольника – дверь, окно, пол, потолок, стена и т.д.

При изучении понятия порядка полезно выстроить детей в соответствии с каким-либо порядком: по росту, по возрасту, по порядку номеров и т.д. можно пересчитывать в прямом и обратном порядке различные предметы. Например, по сказке «Репка» предложить такие вопросы:

• Сосчитайте всех героев сказки по порядку. (Первый – дед, вторая – бабка и т.д.)
• Какой по счёту стоит внучка? Мышка?
• Кто расположен рядом с Жучкой? Перед ней? После неё?
• Какой по счёту с конца стоит бабка? Каким – дед?

При сравнении предметов по размеру особое внимание необходимо уделить различию фигур по величине и установлению порядка увеличения и уменьшения. Изучение этой темы можно связать с известной сказкой «Три медведя». На примере героев этой сказки необходимо показать учащимся, что понятия «большой» и «маленький» относительны. Так, Настасья Ивановна – большая медведица по сравнению с медвежонком Мишуткой, но маленькая по сравнению с медведем Михаилом Потаповичем.

При формировании у учащихся начальных знаний по абстрагированию и классификации на уроках математики изучаются обобщающие понятия, т.е. понятия, означающие не отдельные предметы, а классы предметов (например, слон, кенгуру, обезьяна, енот, лев, заяц – животные). Учитель сначала показывает учащимся наборы картинок, для которых надо найти общее название (например: стол, стул, кресло, кровать – мебель; чашка, блюдце, тарелка, чайник – посуда и т.д.). Потом учащиеся называют другие предметы, входящие в данную группу (например: шкаф, диван – это тоже мебель; стакан, бокал также являются посудой и т.д.).

При проведении данной работы можно ставить и первые вопросы по классификации. Например, о животных задаются вопросы: «Каких ещё животных вы знаете? Какие животные дикие, а какие домашние? Есть ли животные, которые летают? (Летучая мышь). Есть ли дикие, но не хищные животные? (Слон, жираф). Бывают ли хищные домашние животные? За кем охотится кошка?» и т.д.

Полезной с точки зрения абстрагирования и классификации является игра «Пятый лишний», которую очень любят дети, учитель называет или показывает 5 предметов, из которых 4 предмета обладают общим признаком, а пятый нет. Причём для одной и той же группы предметов можно рассматривать разные признаки. Например, в группе предметов «помидор, яблоко, пирожок, пароход, пастила» можно выделить лишний предмет «пароход», если рассматривать признак «съедобный». В этой же группе предметов лишним будет «яблоко», если определяющим признаком выбрать начальную букву (буква «п»).

При обучении учащихся сравнению совокупностей предметов с использованием знаков = и ≠, рассматриваются не множества, а мультимножества. Совокупности равны, если они состоят из одних и тех же предметов или фигур независимо от их порядка.

Сначала раскрывается понятие равенства совокупностей, вводятся знаки = и ≠.

Изучение данной темы можно начать с игровой ситуации, например, о том, как мама покупала подарки Танечке и Ванечке. Танечке купила яблоко и Ванечке – яблоко, Танечке – апельсин и Ванечке – апельсин, Танечке – леденец, а Ванечке – шоколадку. Равны ли подарки?

Очевидно, дети скажут, то подарки не равны, поскольку у Танечки – леденец, а у Ванечки – шоколадка. Отсюда вывод, что совокупности равны, когда они состоят из одних и тех же предметов.

На подготовительном этапе у учащихся формируются представления о сложении как объединении совокупности предметов и о вычитании как удалении из совокупности предметов её части, вводятся термины, обозначающие компоненты действия сложения и компоненты действия вычитания, и знаки сложения «+» и вычитания «-».

Главная мысль эти уроков: сложить – значит объединить совокупности предметов, вычесть – это значит взять часть данной совокупности предметов (отсоединить).

Принципиально важное значение для дальнейшего обучения имеет установление взаимосвязи между сложением и вычитанием. Параллельно с этим уточняется взаимосвязь между порядковыми и количественными числительными, а также рассматриваются некоторые пространственно-временные отношения. Например, изучение отношений «раньше-позже» можно начать с рассмотрения одного и того же пейзажа в разное время суток:

1. Утро, солнце встаёт.
2. Полдень, солнце поднялось высоко, но на небе появились тучи.
3. Набежали тучи, и пошёл дождь.
4. Дождь закончился, опять выглянуло солнце, и появилась радуга.
5. Наступила ночь, на небе сияют звёзды.

Здесь же можно спросить детей, видели ли они радугу. Такие вопросы вызывают у детей желание высказаться, поделиться увиденным, создают благоприятную психологическую атмосферу, работают на развитие речи – важнейшую задачу начального периода обучения.

На данном этапе утоняются с учащимися понятия «вчера», «сегодня», «завтра», «послезавтра», «позавчера» и их представления об основных единицах времени – «год», «месяц», «сутки», «час», «минута», знакомее детям из обыденной жизни.

При рассмотрении отношений «выше-ниже» развивается комбинаторная линия.

Данными уроками заканчивается «дочисловая» часть изучения курса. В течение всего этого времени помимо заданий,  направленных на общее развитие учащихся, отрабатывались навыки устного счёта и навыки письма, дети познакомились с операциями, лежащими в основе сложения и вычитания натуральных чисел. Таким образом, учащиеся вполне подготовлены к изучению чисел и действий с ними.

На последующих уроках знания и навыки, приобретённые учащимися, систематически должны закрепляться и углубляться. Для этого в каждый урок включаются задачи на повторение изученного материала. Форма работы может быть самой разнообразной: устная фронтальная работа или математический диктант, работа в тетрадях в клетку или на печатной основе,  игра или соревнование и т.п.

Виды заданий, которые необходимо включать в работу учащихся:

1. Найдите сходство и различие (предметов, картинок и т.д.). Что изменилось?
2. Измените цвет фигуры, форму, размер; цвет и форму; цвет и размер и т.д. Уменьшите (увеличьте).
3. Что лишнее?
4. Разбейте на части (по цвету, форме, размеру, материалу, назначению и т.д.)
5. Установите закономерность и продолжите ряд.
6. Установите нарушенную закономерность.
7. Подберите вместо звёздочки подходящий знак действия.
8. Разбейте фигуры на группы по заданному признаку.

Начальный курс математики как учебный предмет

План:

Образовательные, воспитательные, развивающие и практические цели обучения математике в начальных классах. Место начального курса математики в математической подготовке школьников.

Содержание курса: свойства предметов и геометрические фигуры (дочисловой период), арифметика целых неотрицательных чисел, величины, элементы алгебры и геометрии, дроби. Текстовые задачи в начальном курсе математики.

Построение начального курса математики. Взаимосвязь арифметического, алгебраического и геометрического материала.

Практическая направленность начального курса математики.

Программа начального курса математики разработана на основе обязательного минимума содержания начального общего образования по образовательной области «Математика», рассчитана на 4 года изучения и предназначена для начальной школы любого вида.

Содержание образовательной программы даёт возможность реализовать основные цели начального курса математики:

- формирование у младших  школьников умений производить все арифметические действия в области неотрицательных целых чисел;

- формирование приёмов  мыслительной деятельности: анализа  и синтеза, сравнения, классификации, абстрагирования и обобщения;

- формирование качеств  мышления, необходимых для ориентации в простейших математических закономерностях окружающей действительности;

- овладение обучающимися  математическими знаниями, необходимыми  для изучения курса математики  в средней школе.

Содержание обучения в образовательной программе даётся крупными блоками.

Содержание первого блока - «Сравнение предметов и групп предметов. Пространственные и временные представления» - составляют вопросы, дающие возможность плавного введения детей в процесс обучения. Основными его задачами являются выявление, уточнение, систематизация и углубление математических представлений, накопленных детьми до поступления в школу.

Второй блок - «Целые неотрицательные числа» - охватывают круг вопросов, связанных с формированием у учащихся полноценных представлений о натуральных числах и нуле.

Третий - «Арифметические операции над числами» - представляет четыре арифметических действия - сложение, вычитание, умножение и деление на множестве целых неотрицательных чисел и их свойства. Учащиеся овладевают алгоритмами устных и письменных вычислений, учатся вычислять значения числовых выражений, знакомятся с простейшими буквенными выражениями, учатся находить их значения при заданном наборе значений букв.

Содержание четвёртого блока - «Величины» - предполагает изучение наиболее распространённых на практике величин (длина, площадь, масса, вместимость, время, скорость и др.). учащиеся знакомятся с их названиями, единицами величин и соотношениями между ними, учатся решать практические задачи (измерение отрезков, вычисление периметра многоугольника, площади фигур и др.), решают разнообразные текстовые задачи, содержащие зависимости между величинами.

Содержание пятого блока - «Геометрические фигуры» - предоставляет возможности для формирования у младших школьников элементарных геометрических представлений о фигурах и их свойствах. Учащиеся учатся различать фигуры, находить их на рисунках, моделях, на окружающих предметах, овладевают графическими умениями изображать точку, отрезок, многоугольник, окружность, используя угольник, циркуль, линейку.

Образовательная программа начального курса математики обеспечивает получение каждым выпускником начальной школы обязательного минимального уровня математической подготовки.

Задание.

Выполните необходимые предметные действия и объясните, почему приведённые ниже ситуации можно использовать при формировании у учащихся представлений о смысле действия сложения:

а) У Коли было 4 марки, у Пети – 2 марки. Покажите, сколько марок было у них вместе.

б) У Коли было 4 марки, у Пети на две марки больше. Покажите, сколько марок у Пети.

В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения целых натуральных чисел, в соответствии с которым сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств. Этот подход легко интерпретируется на уровне предметных действий, позволяя тем самым учитывать психологические особенности младших школьников.

Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения:

а) увеличение данного предметного множества на несколько предметов:

б) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному:

в) составление одного предметного множества из двух данных:

Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношении целого и его частей.

Решение первой задачи (под а) фактически можно свести к ситуации вида в), рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые были у Пети, как другое предметное множество.

Дети выкладывают 4 марки (круга, квадрата, треугольника), которые показывают, сколько марок было у Коли. Затем выкладывают 2 марки (круга, квадрата, треугольника), которые показывают, сколько марок было у Пети. Затем движением руки показывают, сколько марок  у Коли и Пети вместе. Далее выясняется, как можно записать выполненное предметное действие математическими знаками, используя для этой цели цифры, знаки «+» и «=» (4+2=6).

Для решения второй  задачи (под б) учащиеся выполняют предметные действия, соответствующие ситуациям вида б), у них  формируется понятие «больше на», представления о котором связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и её увеличением на несколько предметов («и ещё»). В этом случае объединяют совокупности «столько же» и «ещё».

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.

Методика преподавания математики (МПМ) – наука, предметом которой является обучение математике, причём в широком смысле: обучение математике на всех уровнях, начиная с дошкольных учреждений и кончая высшей школой.

МПМ развивается на базе определённой психологической теории обучения, т.е. МПМ представляет собой «технологию» применения психолого-педагогических теорий к начальному обучению математике. Кроме того, в МПМ должна отражаться специфика предмета обучения – математики.

Цели начального обучения математике: общеобразовательные (овладение учащимися определённого объёма математических ЗУНов в соответствии с программой), воспитательные (формирование мировоззрения, важнейших моральных качеств, готовности к труду), развивающие (развитие логических структур и математического стиля мышления), практические (формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач).

Взаимосвязь учителя и ученика происходит в виде передачи информации в двух противоположных направлениях: от учителя к ученику (прямая), от учения к учителю (обратная).

Принципы построения математики в начальной школе (Л.В. Занков): 1) обучение на высоком уровне трудности; 2) обучение быстрым темпом; 3) ведущая роль теории; 4) осознание процесса учения; 5) целенаправленная и систематическая работа.

Учебная задача – ключевой момент. С одной стороны она отражает общие цели обучения, конкретизирует познавательные мотивы. С другой стороны позволяет сделать осмысленным сам процесс выполнения учебных действий.

Этапы теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин): 1) предварительное ознакомление с целью действия; 2) составление ориентировочной основы действия; 3) выполнение действия в материальном виде; 4) проговаривание действия; 5) автоматизация действия; 6) выполнение действия в умственном плане.

Приёмы укрупнения дидактических единиц (П.М. Эрдниев): 1) одновременное изучение сходных понятий; 2) одновременное изучение взаимообратных действий; 3) преобразование математических упражнений; 4) составление задач учащимися; 5) деформированные примеры.

ЧИСЛО И ЦИФРА 0.

Число нуль является характеристикой пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента. Для того, чтобы учащиеся представили себе такое множество, можно использовать различные методические приёмы.

Один приём связан с установлением соответствия между числовой фигурой и цифрой, обозначающей количество предметов. Этим подходом можно воспользоваться до изучения сложения и вычитания, на этапе формирования у учащихся представлений о количественном числе.

Другой методический приём знакомит учащихся с нулём как результатом вычитания. Для этой цели им предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают, а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами.

В М1М число 0 вводится, как результат операции 1–1, при таком введении у детей может сложиться неправильное представление о числе 0. Поэтому следует рассмотреть как можно больше таких случаев (2–2, 3–3 и др.).

Можно предложить задания с формулировкой «Что изменилось?» и изображением количественной и пустой совокупностей предметов.

Возможно познакомить детей с числом нуль как с компонентом арифметического действия, предложив задание с формулировкой «Что изменилось» и с двумя одинаковыми совокупностями предметов. 4=4, 4+0=4 и 4–0=4.

БИ№7: 
2Проверкарешениятекстовыхзадач: 
1) решение задачи другим способом;  
2) составление и решение обратной задачи (составить обратную задачу – значит преобразовать данную задачу таким образом, чтобы искомое число данной задачи стало данным числом, а одно из данных чисел стало искомым);  
3) установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными числами (необходимо выполнить арифметические действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи; если при этом получатся числа, данные в условии задачи, тогда задача решена правильно);  
4) прикидка ответа (до решения задачи устанавливается область значений искомого числа, то есть больше или меньше одного из данных чисел должно быть искомое число).

БИЛЕТ№12: 
2. Задачи на нахождение четвертого пропорционального: 
В задачах на нахождение четвертого пропорционального даются три величины, связанные с пропорциональной зависимостью (прямой, обратной) и, исходя из которых, находят четвертую, искомую величину. Эти четыре величины составляют пропорцию, отсюда и название этих задач.  
Величинами в этих задачах могут быть цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние; масса одного предмета, количество предметов, общая масса и другие.

БИЛЕТ №12: 
 
1. Методика формирования у младших школьников понятия натурального числа: 
Огромная роль числа в жизни людей обусловливает довольно раннее формирование числовых представлений у ребёнка. Натуральное число выступает для ребёнка на этом этапе как целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов. Первые представления детей о числе связаны с его количественной характеристикой, и ребёнок может отвечать на вопрос: «Сколько?», не владея операцией счёта.  
Количественная характеристика предметных групп осознаётся ребёнком и в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами (выражение в понятиях «столько же», «больше», «меньше»). Для этого можно использовать:  
1) наложение предметов одного множества на предметы другого;  
2) расположение предметов одного множества под предметами другого;  
3) соединение каждого предмета одного множества с каждым предметом другого.

БИЛЕТ №12: 
2. Задачи на нахождение четвёртого пропорционального: 
В начальных классах дети знакомятся с тройками пропор¬циональных величин:  
- цена, количество, стоимость;  
- скорость, время, расстояние;  
- длина, ширина, площадь; 
- масса одного предмета, количество предме¬тов, общая масса; 
- расход материала на одну вещь, количество вещей, общий расход; 
- производительность труда (выработка в единицу времени), время работы, общая выработка; 
- урожайность (урожай с единицы площади), площадь, общий урожай.  
С этими величинами можно особо выде¬лить 3 вида составных задач:  
- на нахождение четвёртого про¬порционального;  
- на пропорциональное деление;  
- на нахождение неизвестного по двум разностям.  
Первый из этих видов вводится в 3 классе, а второй и третий – в 4 классе.  
В задачах на нахождение четвёртого пропор¬ционального даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две перемен¬ные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений дру¬гой переменной, а второе значение этой величины является ис¬комым.  
Рассмотрим особен¬ности работы над задачами на нахождение четвёртого пропор¬ционального с величинами: цена, количество, стоимость. 
На подготовительном этапе: 
Формируются представления о величинах и единицах измерения: группа величин: цена, количество, стоимость.  
Работа над этими величинами начинается в 1 классе. Например, организуется игра в магазин. На доске предметы и цены. 1 ученик – продавец, второй ученик – покупатель, класс – контролёры.  
Отрабатывается нахождение значений каждой величины. Для наблюдения за нахождением значений одной величины через другие используются таблицы. На этих простых задачах учащиеся находят значения одной величины, зная значение двух других величин этой группы. 
Отрабатывается взаимосвязь между величинами. Для достижения этой цели решаются тройки взаимообразных задач.  
С = Ц ∙ К  
Ц = С : К  
К = С : Ц 
Ту же самую схему используем с величинами: скорость, время, расстояние. 
Из прямой задачи учащиеся должны составлять обратную задачу. 
Итогом должно быть умение детьми находить одну величину через две других. Это является основой для овладения способами решения. 
Ознакомление:  
В ходе решения простых задач отрабатываются правила нахождения одной из величин по двум другим, пропорциональным ей: например, как найти цену, зная стоимость и количество:  
Книга стоит 20 рублей.  
Сколько стоит 5 таких книг? 
После этого можно перейти к реше¬нию составных задач. 
Текст задачи 
За 5 метров ткани заплатили 40 рублей. Сколько стоят 7 мет¬ров такой же ткани? 
Краткая запись условия: 
Запись условия задач с пропорциональными величинами оформляется в виде таблицы: 
 
Цена Количество Стоимость  
 
Разбор: 
На начальном этапе разбор таких задач осуществляется ана¬литическим (от вопроса к данным) способом. 
Запись решения:  
1 способ – по действиям с пояснением: 
1) 40 : 5 = 8 (р.) – стоит 1 м ткани. 
2) 8 ∙ 7 = 56 (р.) – стоят 7 м ткани. 
Ответ: 56 рублей. 
2 способ – составлением выражения: 
40 : 5 ∙ 7 = 56 (р.). 
Ответ: 56 рублей. 
В дальнейшем от аналитического способа разбора можно переходить к синтетическому (от данных к вопросу), а краткую запись условия можно сделать более компактной: 
5 м – 40 р.  
7 м – ? р. 
Проверка решения выполняется способом составления и решения обратных задач.  
Закрепление:  
- решение задач данного вида; 
- упражнения творческого характера; 
- упражнения на составление задачи по её решению; 
- составление задач с заданными величинами.

БИЛЕТ №16: 
 
2. Методика ознакомления с долями: 
Основная задача при ознакомлении с долями - научить детей практически образовать доли по математической записи и обратно: записывать доли, исходя из практических действий. Например, чтобы получить одну третью долю круга, надо круг разделить на три равные части и взять одну такую часть; если круг разделили на шесть равных частей и взяли одну часть - это значит одна шестая доля круга.  
При ознакомлении с долями у каждого ученика должны быть наглядные пособия, с которыми он работает, дублируя действия учителя. Предварительно создавая проблемную ситуацию, учитель мотивирует необходимость изучения новых чисел. После объявления темы, он предлагает учащимся взять свои квадраты (заранее приготовлены) и просит их перегибанием разделить на две равные части (показывает как надо делать). Разрезав по линии сгиба, учитель наложением показывает учащимся, что две половинки равные и одну половинку называет "это одна вторая доля квадрата". После этого просит их показать одну вторую долю своего квадрата. Далее выясняют, что целый квадрат состоит из двух вторых частей.  
Далее учащиеся аналогичным образом получают одну четвертую долю квадрата. После этого показываем запись долей: 1/2 и объясняем: число 2 показывает, что квадрат разделили на две равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть и т.д.. 
Закрепляя понятие доли, учащимся предлагаются вопросы: 
1) Объясните, как получить 1/2 долю круга? 
2) Что означает выражение "1/5 отрезка"? 
3) Круг разделили на 7 равных частей. Как назовете одну такую часть? 
4) Отрезок разделили на 4 разные части. Можно ли одну часть назвать "одной четвертой долей отрезка"? 
5) Назовите, какая доля прямоугольника закрашена и запишите эту долю (рис.11). Что обозначают в этой записи числа, записанные выше черты и ниже черты?

БИЛЕТ №22: 
 
1. Методика работы над взаимосвязью между компонентами и результатом арифметического действия:  
Ученик должен видеть, что каждое изучаемое им свойство можно использовать на практике, поэтому знание этих зависимостей должно найти сразу же приложение к проверке арифметических действий.  
Опыт передовых учителей показывает, что изучение зависимости между компонентами действий целесообразно начинать в I классе и заканчивать в третьем. 
В первом классе изучение этого вопроса начинается с решения примеров вида:  
4 + ? = 6 + 3 = 5 12 - ? = 3 ? - 4 = 16 
x 2 = 8 6 x = 18 14 : ? = 7 12 : = 3 
Дети знакомятся с этой зависимостью пока без сообщении. Такие примеры предлагаются в разнообразной форме, в том числе и в занимательной, например, в форме загадок: «Я задумал число и прибавил к нему 5, после чего у меня получилось 8. Какое число я задумал?»  
Эти упражнения вначале иллюстрируются на плакатах, наглядных пособиях. 
Как показывает опыт, детям I класса доступно решение задач, в которых требуется найти неизвестный компонент Действия. Например, «У мальчика было 6 тетрадей. После того как он купил еще несколько тетрадей, у него стало 11 тетрадей. Сколько тетрадей купил мальчик?»  
Дети I класса находят неизвестный компонент действия, пользуясь знанием состава числа, а задачи решают на основе простейших рассуждений. 
Во II классе, решая примеры с X, дети сами подмечают правила нахождения неизвестного числа х в таких уравнениях, как X ± а = b; а ± X = b.  
В III классе эти правила формулируются, закрепляются и применяются к решению более сложных примеров и задач.

БИЛЕТ №14: 
1. Методика изучения нумерации чисел по концентрам:  
Изучение натуральных чисел происходит по следующим концентрам:  
1) однозначные числа,  
2) двузначные числа,  
3) трехзначные числа,  
4) числа в пределах класса тысяч,  
5) числа в пределах класса миллионов.  
Выделение таких концентров связано с тем, что одной из главных задач изучения этой темы является осознание принципа построения той системы счисления, которой в настоящее время пользуются в большинстве стран мира - позиционной десятичной. В этой системе числа десять, сто, тысяча и т.д. являются основными системообразующими и, следовательно, должны занимать особое место в процессе изучения по отношению к остальным натуральным числам.

БИЛЕТ №6: 
 
1. Урок математики в начальных классах: 
При построении конкретного урока математики необходимо учитывать не только определённые этапы обучения (актуализация знаний, объяснение нового, закрепление, контроль, повторение) и специфику математического содержания, но и основную цель урока, его логику и те методические приёмы, которые способствуют её достижению. 
В связи с этим, характеризуя урок с методической точки зрения, необходимо иметь в виду не только его внешнюю, но и внутреннюю структуру. Внешняя структура – этапы урока, на которых решаются те или иные дидактические задачи. С точки зрения внутренней структуры каждый урок – это определённая система заданий, в процессе выполнения которых ученик овладевает ЗУНами.  
Учебные задания выстраиваются на уроке обычно в такой последовательности:  
1) задания на подражание;  
2) тренировочные задания, требующие самостоятельного применения знаний;  
3) тренировочные задания, требующие применения ранее приобретённых ЗУНов;  
4) частично-поисковые и творческие задания.  
Наиболее распространённым типом урока математики являются комбинированные уроки. Внешняя структура уроков комбинированного типа может быть различной. Например:  
1 – закрепление и проверка ранее изученного материала;  
2 – изучение нового материала;  
3 – закрепление этого материала;  
4 – задание на дом.  
Внутренняя структура уроков находит отражение в учебниках. 
Направленность курса математики на развитие ребёнка вносит существенные изменения во внутреннюю структуру урока. Например, на уроке изучения нового, детям предлагают частично-поисковые или творческие задания, которые выполняют мотивационную функцию.  
Этап закрепления не ограничивается рамками одного урока. Усвоение нового материала происходит на протяжении изучения всей темы.  
Повторение ранее изученного материала тесно связано с усвоением нового содержания и носит обучающий, а не контролирующий характер.  
Процесс усвоения математического содержания носит сугубо индивидуальный характер.  
Каждое задание, предназначенное для закрепления, активизирует мыслительную деятельность школьников, реализуя тем самым развивающие функции урока.

БИЛЕТ №13: 
 
1. Методика формирования у младших школьников понятия числа нуль: 
Число нуль является характеристикой пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента. Для того чтобы учащиеся представили себе такое множество, можно использовать различные методические приёмы. 
Один приём связан с установлением соответствия между числовой фигурой и цифрой, обозначающей количество предметов. Этим подходом можно воспользоваться до изучения сложения и вычитания, на этапе формирования у учащихся представлений о количественном числе.  
Другой методический приём знакомит учащихся с нулём как результатом вычитания. Для этой цели им предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают, а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами.  
Можно предложить задания с формулировкой «Что изменилось?» и изображением количественной и пустой совокупностей предметов. 
Возможно познакомить детей с числом нуль как с компонентом арифметического действия, предложив задание с формулировкой «Что изменилось?» и с двумя одинаковыми совокупностями предметов. 4=4, 4+0=4 и 4–0=4.

Билет 13 вопрос2 
Задача на пропорциональное деление включает три величины, связанные пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. 
Классификация задач на пропорциональное деление. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью. 
Способ решения – арифметический (нахождение значения постоянной величины через вычисление отношения заданной суммы величин к сумме двух данных величин, а затем вычисление значений каждой искомой величины) и алгебраический (уравнением). 
Для решения задачи удобно записывать данные условия в виде таблицы.  
Следует обратить особое внимание на особенности работы с ознакомлением данного вида задач поэтапно. 
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение школьников решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. 
При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление следует получить задачи этого вида путем совместной с учащимися работы по преобразованию задач на нахождение четвертого пропорционального в задачи нового вида Таким образом, необходимо отметить важность наличия у детей сформированного умения составлять и преобразовывать задачи. 
В начале рассматривают преимущественно задачи на пропорциональное деление первого вида с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость и др. После этого вводятся задачи второго вида, а несколько позднее третьего и четвертого видов. Следует отметить, что в начальной школе в основном решаются задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин.

БИЛЕТ №10: 
1. Организация внеклассной работы по математике в начальной школе: 
При организации внеклассной работы по математике центральное место принадлежит деятельности, направленной на развитие математических способностей учащихся, привития интереса к предмету. Возможности для развития способностей учащихся и привития им интереса к математике предоставляют различные внеклассные формы занятий по математике. Организационные формы внеклассной работы по математике должны обеспечивать осуществление задач учебно-воспитательного процесса, конечной целью которых является содействие во всестороннем развитии детей, и в первую очередь интеллектуальному. 
Виды и формы внеклассной работы по математике в малокомплектной начальной школе могут быть нацелены на развитие определенных сторон мышления и черт характера учащихся, иногда не преследуя в качестве основной цели расширение или углубление фактических знаний по математике.  
Существуют следующие формы внеклассной работы: 
1. Математический кружок. 
2. Факультатив. 
3. Конкурсы, викторины. 
4. Математические олимпиады. 
5. Математические дискуссии. 
6. Неделя математики. 
7. Школьная и классная математическая печать. 
8. Изготовление математических моделей. 
9. Математические экскурсии. 
 
Приведем примеры внеклассных занятий по математике и их краткое определение. 
 
Форма внеклассных занятий Содержание  
Математический кружок Одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий, объединяющая учащихся одного или параллельных классов, проявляющих интерес к математике. 
Математическая олимпиада Соревнование хорошо успевающих учащихся по решению наиболее трудных и интересных задач. 
Математическая газета Массовое внеклассное мероприятие, дополнение кружковых занятий; издается математическим кружком или специальной редколлегией. 
Моделирование Изготовление наглядных пособий: таблиц, схем, диаграмм, моделей измерительных приборов для оборудования кабинета математики, для более глубокого усвоения учащимися школьного курса математики 
Математический вечер Эпизодическое внеклассное мероприятие двух видов: 
вечера занимательной математики; 
тематические вечера, посвященные великим математикам или знаменательным датам. 
 
Элементы приведенных форм внеклассной работы могут быть использованы при организации работы по какой либо одной из них. Например, при проведении математического вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т. д. Каждая из форм внеклассной работы обладает своими особенно ценными качествами. Математические соревнования привлекательны тем, что участвовать в них стремятся почти все ученики. Это учитель может использовать как для повышения интереса к математике, так и для организации коллективной умственной деятельности учеников. Что особенно существенно, поскольку в изучении математики потребность в объединении усилий нескольких равноправных участников встречается нечасто. При проведении соревнований участники разбиваются на команды, ведущие борьбу за скорейшее и более качественное выполнение задания.