Комплексные числа и действия над ними

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

Высшего профессионального  образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт                      природных ресурсов

Специальность          геология

Кафедра                      высшей математики

 

 

 

Комплексные числа и действия над ними

Студент гр.2л31              __________________              А.Б.Кисленко

     (подпись)

     __________________

      (дата)

Руководитель                      __________________           Т.В. Тарбокова

      (подпись)

       __________________

      (дата)

 

 

 

 

 

 

 

Томск-2013

План

1. Комплексные числа
2. Сложение и вычитание комплексных чисел
3. Умножение комплексных чисел
4. Деление комплексных чисел
5. Заключение
6. Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комплексные числа

Ко́мпле́ксные чи́сла ( Мнимые числа) — числа вида  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица; то есть  . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается   от лат. complex — тесно связанный.

Первоначально идея о необходимости  расширения понятия действительного  числа возникла в результате формального  решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число.В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач во всех областях математики и физики, в частности, в теории чисел, многие задачи которой, касающиеся натуральных чисел, получили решение только с использованием понятия комплексного числа.

Стандартная модель

Комплексное число   можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел  ; запись   следует понимать как удобный способ записи пары  .

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим  образом:

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества  комплексных чисел и представлены парами вида  , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой   единица —   а мнимая единица —  . На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен  , то есть  .

Несложно показать, что  определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.

Матричная модель

Комплексные числа можно также  определить как семейство вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением  и умножением. Действительной единице  будет соответствовать

мнимой единице —

 

Сложение и вычитание комплексных чисел      

 По аналогии  со сложением и вычитанием  векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:

(a₁ + b₁i ) + (a₂ + b₂i ) +...+  (a_n + b_ni ) = (a₁ + a₂ + ...+ a_n ) + (b₁+ b₂+...+ b_n ) i = a + bi       

 Операция введена, так как получили элемент того же множества.

Пример 1

Сложить два комплексных  числа  , 

Для того чтобы  сложить два комплексных числа  нужно сложить их действительные и мнимые части: 

Это настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях и объяснениях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных  чисел справедливо правило первого  класса:   – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

 

 

        Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a₁ + b₁i) – (a₂ + b₂i ) определяется из условия:

(x + iy) + (a₂ + b₂i ) = (a₁ + b₁i)  .       

 Из правила  сложения получаем:

x + a₂ = a₁, 
y + b₂ = b₁.        

 То есть x = a₁ – a₂,   y = b₁ – b₂ и разность

(a₁ + b₁i ) – (a₂ + b₂i ) = (a₁ – a₂ ) + (b₁– b₂) i.

Пример 2

Найти разности комплексных  чисел   и  , если  , 

Действие аналогично сложению, единственная особенность  состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем  – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа  две, а не три части. Просто действительная часть – составная:  . Для наглядности ответ можно переписать так:  .

Рассчитаем вторую разность: 
 
Здесь действительная часть тоже составная: 

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью:  . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных  чисел

Произведением двух комплексных  чисел называется такое комплексное  число, модуль которого равен произведению  модулей сомножителей, а аргумент –  сумме аргументов сомножителей.

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел   , 

Очевидно, что  произведение следует записать так: 

 Напрашивается  раскрыть скобки по правилу  умножения многочленов. Так и  нужно сделать! Все алгебраические  действия вам знакомы, главное,  помнить, что  .

Повторим, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно: 

Из этого следует, что 

Внимание, и еще  раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:  .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти  специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов  универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

 

 

Деление комплексных  чисел

Деление определяется как  действие, обратное умножению. Частным  двух комплексных чисел z₁ и z₂≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z₂, дает число z₁, т. е. z₁/z₂=z, если z₂z=z_1.

Пример 4

Даны комплексные  числа  ,  . Найти частное  .

Составим частное: 

Деление чисел  осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем формулу   и смотрим на наш знаменатель:  . В знаменателе уже есть  , поэтому сопряженным выражением в данном случае является  , то есть 

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на  , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число  : 

Далее в числителе  нужно раскрыть скобки (перемножить  два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе  воспользоваться формулой   (помним, что  и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно: 

 Если взять два любых числа ,то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде  .

В ряде случаев  перед делением дробь целесообразно  упростить, например, рассмотрим частное  чисел:  . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы:  . ответ: 

 

Заключение

Комплексные числа, несмотря на их «лживость» и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а так же в таких науках, как физика и химия. В настоящее время комплексные числа используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях. Хоть комплексные числа и не входят в базовую школьную программу алгебры, но тем не менее, является серьезным разделом элементарной математики.  Основные действия над комплексными числами рассмотрены мною в данном реферате.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы

http://www.pm298.ru/reshenie/compl.php

http://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

http://www.dsplib.ru/content/complex/complex.html

 http://works.doklad.ru/view/WkHKDqTn_kU.html

http://works.tarefer.ru/50/100062/index.html

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema21_1/tema21_1.htm

http://www.myshared.ru/slide/44744/

http://www.znannya.org/?view=math-deystvie-nad-komplex

http://matica.org.ua/funktsii-kompleksnogo-peremennogo/01-kompleksnie-chisla-i-deystviya-nad-nimi