Контрольная работа по « Математические задачи электроэнергетики »

Министерство образования  науки, физкультуры и спорта Украины

Приазовский государственный технический университет.

Специальность - электротехнические системы электропотребления.

 

 

 

                                              Контрольная работа

По  курсу « Математические задачи электроэнергетики »

 

 

 

 

Выполнил студент

Группы У-11-ЕПП-2д      _____________________Пьянова Т.Ф.

 

                Преподаватель _____________________Леонов В.В.

 

 

 

 

                                                  2013 год

Теория вероятности – это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий,  случайных величин и случайных функций. Каждое событие, происходящее в окружающем мире, является результатом воздействия большого числа других событий, влияющих на возможность возникновения данного события. Случайным событием называется событие, которое может в данных условиях или произойти, или не произойти. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, а невозможным называется событие, которое не произойдет.                                                                              Если же рассматривать достаточно большое число случаев, когда событие может произойти, или не произойти, или производить большое число испытаний, то у любого случайного события начнет проявляться определенная закономерность. Закономерность эта выражается количественной характеристикой, присущей данному случайному событию. Этой характеристикой называется вероятность событий. Таким образом, закономерность случайного события, определяемая его вероятность, проявляется при достаточно большом числе наблюдений, то есть на основе анализа большого статистического материала. Это обстоятельство является очень важным, так как попытки определить вероятность случайных событий при очень малом числе наблюдений могут привести к серьезным ошибкам вплоть до признаний случайного события достоверным или невозможным.                                                                          Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта то или иное значение; это значение неизвестно заранее. Между случайной величиной и случайным событием существует тесная связь. Если каждому случайному событию можно поставить в соответствие какую-либо величину, то появлению того или иного случайного события соответствует та или иная случайная величина. В качестве случайной величины можно принять и число однородных случайных событий за определенный промежуток времени. Случайные величины отличаются от обычных ( неслучайных ) величин тем, что в разных случаях значения их могут быть разными. Однако все случайные величины подчинены тем или иным закономерностям.                                                       Случайной функцией называется величина, изменяющаяся при изменении аргумента случайным образом.  Если аргументом случайной функции, как это в большинстве практических приложений имеет место, является время, то такая случайная функция называется случайным процессом.                                                    В энергетике случайные события имеют место, так же как и во всех других отраслях деятельности человека. Энергетические системы объединяют очень большое число различных технических устройств, как генерирующих, так и передающих энергию; особенно велико число устройств, преобразующих энергию в другой её вид.                                                                                       Возможны два метода определения вероятности случайного события: классическое и статистическое.                                Классическое определение применимы только в том случае, если изучаемые случайные события образуют так называемую полную группу попарно несовместимых и совместимых событий. События, образующие такую группу, называют случаями.  Это означает, что одно из совокупности случайных событий должно произойти обязательно, то есть  возникновение хотя бы одного из событий достоверна. Кроме того, два события из этой группы одновременно возникнуть не могут и любое из событий, данной группы имеет одинаковую вероятность. В этом случае вероятность считают равной отношению числа случаев, когда данное событие будет иметь место, к общему числу возможных случаев.     Статистическое определение вероятности, как показывает само название , базируется на статистических материалах. Наблюдая какое-либо случайное событие, можно определить относительную частоту возникновения данного события. При достаточно большом числе наблюдений относительная частота возникновения событий колеблется около некоторой постоянной величины. Эта величина называется статистической вероятностью случайного события.  Различные случайные событие символически обозначаются большими буквами А, В, С. Достоверное событие обозначается буквой U, а невозможное событие - буквой V.                                               Два случайных события, например А и В, будут считаться независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого, а зависимыми – в обратном случае.                                                                                                                       Обычно в энергетике приходится изучать вероятности непростых случайных событий, а сложных случайных событий, являющихся комбинациями ряда простых. Определение вероятности сложного события через известные значения вероятности простых событий производится исходя из так называемых законов вероятности сложных событий.                                                                                                       Для независимых случайных событий эти законы могут быть сформулированы следующим образом:                                                                    1) вероятность возникновения хотя бы одного из двух случайных независимых и несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

                                      Р(А+В)=Р(А)+Р(В)                                                                                                                         2) вероятность возникновения хотя бы одного из двух независимых и совместимых событий А и В может быть записана как: 

                                     Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)                                                        3) вероятность одновременного возникновения двух  несовместимых событий А и В равна нулю:

                                     Р(АВ)=0                                                                                                                                                         4) вероятность одновременного возникновения двух независимых и совместимых событий равна произведению их вероятностей:

                                    Р(АВ)=Р(А)Р(В)                                                                                                                                        5) сумма вероятностей противоположных событий равна 1.Событие А, противоположное данному событию А, всегда имеет место, если не имеет места событие А, и всегда не имеет места, если событие А имеет место, то есть : 

                                    Р(А)+Р(А)=1                                                              

Поэтому вероятность противоположного события:

                                     Р(А)=1-Р(А).                                                                       

Пример: Определить вероятность повреждения энергетического блока, представляющего собой ,последовательное соединение парового котла с паровой турбиной и электрическим генератором. Поровая турбина получает весь пар от парового котла. Генератор расположен на одном валу с турбиной, то есть использует всю ее мощность. Вероятности повреждения отдельных элементов блока q известны: q_k=0,02_; q_т=0,01; и q_r=0,001 для котла, турбины и генератора.                                                                                                                                          Аварийный выход из работы всего блока может иметь место при повреждении хотя бы одного из трех указанных элементов блока. Так как не повреждение является случайным событием, противоположным повреждению, то вероятности не повреждения элементов блока p найдутся по Р(А)=1-Р(А).     

            p_k =1-0,02=0,98;            p_т =1-0,01=0,99;                 p_r =1-0,001=0.999;                              Найдем вероятность того, что все элементы блока не повреждены, то есть работает исправно. Так как аварийность каждого элемента можно считать независимой от других элементов, то вероятность того, что все три элемента не повреждены, то есть вероятность работы блока р_бл, определится   по                                 Р(АВ)=Р(А)Р(В)                                 

                                   p_бл = p_k* p_т *p_r =0,98*0,99*0,999=0,9692298.                                                                    Повреждение блока по любой причине является событием, противоположным по отношению к не повреждению блока,  поэтому вероятность повреждения   блока

                                                       q_бл =1-0,9692298=0,0307702                                                                                                                 Можно определить эту же величину, если рассмотреть все частные случаи повреждения элементов блока: а)котла; б)турбины; в)генератора; г)котла и турбины; д)котла и генератора; е)турбины и генератора; ж)котла ,турбины и генератора.                                                                                                                                                                      Найдем вероятность каждого из этих частных случаев повреждения блока исходя из формул:                                                                                              

                                                        Р(АВ)=Р(А)Р(В) и Р(А)=1-Р(А).                                                                                                                        а) вероятность повреждения котла:

                                           p_k= q_k* p_т *p_r =0,02*0,99*0,999=0,0197802.                                                                                     Было бы неправильно считать, что вероятность повреждения только котла равна 0,02, так как в число событий «повреждения котла» вошли бы события одновременного повреждения котла и других элементов;                                                                                                а) повреждение только котла при не повреждении других элементов.  Именно поэтому мы умножаем 0,02 на 0,99 и 0,999;

б)  p_т= p_k *q_т *p_r=0,98*0,01*0,999=0,0097902.                                                                         Аналогично получаем вероятности для остальных случаев;

 в)  p_k * p_т *q_r=0,98*0,99*0,001=0,0009702;.                            

 г)  q_к *q_т* p_r =0,02*0,01*0,999=0,0001998;                                                           

д) q_к * p_т*q_r =0,02*0,99*0,001=0,0000198;                            

е)  p_k *q_т * q_r =0,98*0,01*0,001=0,0000098;                            

ж) q_к * q_т *q_r =0,02*0,01*0,001=0,0000002;                                                                                      Если теперь сложить вероятность для всех семи случаев, то получится вероятность повреждения блока, равная 0,0307702.Как видно, для получения вероятности повреждения блока первый путь гораздо проще и требует меньше расчетов. Зато во втором случае можно не только получить величину общей вероятности повреждения блока, но и проанализировать вероятность различных причин повреждения всего блока.  Наибольшее значение имеет вероятность повреждения котла, а затем – турбины.  Вероятность этих двух случаев составляет   0,0295704 из общей вероятности 0,0307702.

Рассмотрим вероятности зависимых  случайных событий в энергетике. Пусть два события А и В являются зависимыми; это означает, что вероятность одного из этих событий изменяется, если происходит другое событие.  Для оценки этого вводится понятие условной вероятности.                                                                                Условной вероятностью событий А и в называется вероятность событий А, если событие В имеет место. Они обозначаются через Р(А/В).                                                                                                                   Основные законы для взаимозависимых случайных событий формируются следующим образом:                                                                           1) условная вероятность события А и В при их совместимости и взаимозависимости равна отношению вероятности одновременного наступления событий А и В к вероятности события В: 

                               Р(А/В)=Р(В)/Р(АВ),

причем Р(АВ) в этом случае не равно Р(А)*Р(В);                                                             2) вероятность одновременного события, как это следует из Р(А/В)=Р(В)/Р(АВ), равна произведению условной вероятности первого события по второму на вероятность второго события:

                                              Р(АВ)=Р(А/В)*Р(В).

Пример: Пусть статистическая вероятность повреждения любой фазы линии составляет 0,001. Примем также, что если повреждение одной фазы произошло, то повреждение другой любой фазы будет иметь статистическую вероятность 0,2, то есть условная вероятность повреждения второй фазы при повреждении первой равна 0,2. Кроме того, пусть аналогичные вероятности повреждения третей фазы при повреждении двух других составляют 0,5. Определим соотношения вероятности однофазных, двухфазных и трехфазных коротких замыканий при условии, что авария началась с повреждения одной фазы.                                                                                                                                                  Вероятность аварийного повреждения двух фаз

                                      Р(АВ)=Р(А/В)*Р(В).

                                               Р’=0.2*0.001=0.0002                                                                                        Вероятность аварийного повреждения трех фаз;

                                              Р’’=0.5*0.002=0.0001                                                                                                                            Определим условия вероятности развития аварии, то есть вероятность повреждения других фаз. Пусть статистические наблюдения установили, что однофазных коротких замыканий в данной сети за  некоторый длительный период времени было 100, а в 20 случаях из них повредилась и другая фаза. Тогда на основании формулы                                                                     

                                              Р(А/В)=Р(В)/Р(АВ),                                                                                                                                   можно получить условную вероятность повреждения и другой фазы;

                                               Р(А/В)=Р(В)/Р(АВ)=20/100=0,2,                                                                                                                      так как число аварий можно считать пропорциональным вероятности.      Таким образом, соотношения вероятностей однофазных, двухфазных и трехфазных повреждений будут: 0,001; 0,0002; 0,0001, или примерно 77% однофазных,  15% двухфазных и 8% трехфазных.

Для оценки вероятностей как непрерывных, так и дискретных случайных величин  вводят функцию распределения F(x), которая, по определению, равна вероятности того, что данная случайная величина η попадает в интервал значений от - ∞ до некоторого значения х, то есть она меньше, чем х;

                                          F (x)=P( - ∞ ≤ η < x ).                                                                                                              Из данного определения следует, что F ( - ∞)=0 и F ( + ∞)=1.                      Закон распределения вероятностей непрерывных случайных величин может быть определен заданием не функции распределения, а плотности распределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей ϕ(х) представляет собой производную от функции распределения по значению случайной величины х:

                                              ϕ(х)=dF(x)/dх,                                                                                                               поэтому