Контрольная работа по "Алгебре"

-λ   1  -1   1               -λ     1     -1     1              1-λ    1-λ    0          1     -1     1

  1  -λ   1  -1        =      0  1-λ   1-λ     0    = -λ      1      -λ     1   -  1-λ   1-λ     0   =

-1   1  -λ   1     1        -1     1     -λ     1                 0    1-λ  1-λ         0   1-λ 1-λ  

  1  -1   1  -λ                0     0    1-λ 1-λ           

 

=-λ(-λ(1-λ)²-(1-λ)²-(1-λ)²)-((1-λ)²+(1-λ)²+(1-λ)²)=(1-λ)²(λ+2λ-3)=(λ-1)³(λ+3)

 

2. а)λ=-3

    3x₁+  x₂-  x₃+ x₄=0,

      x₁+3x₂+ x₃-  x₄=0,

     -x₁+ x₂+3x₃+ x₄=0,  

      x₁-  x₂+  x₃+3x₄=0

    3   1  -1   1                  0  4  8  4       (-1)   1/4         -1  1  3   1

    1   3   1  -1            ~    0  4  4  0                1/4   ~     0  1  2   2       ~

   -1   1   3   1     1, 3      -1  1  3  1                               0  0  1   1    1 

    1  -1   1   3                  0  0  4  4                1/4          0  0 -1  -1 

 

     -1  1  3  1                       

~    0  1  2  1                  ~   -1  1  0  -2                 1  0  0   1        

      0  0  1  1    (-2), (-3)      0   1  0  -1    (-1) ~   0  1  0  -1  

      0  0  0  0                        0   0  1   1                 0  0  1   1  

 

    x₁+x₄=0,           x₁=-x₄,        x₁= C,                                                  C                  1    

    x₂- x₄=0,           x₂= x₄,        x₂=-C,                       Значит,  X¹ =    -C     = C·    -1

    x₃+x₄=0;           x₃=-x₄;        x₃= C,                                                  C                  1    

                                                 x₄=-C                                                  -C                -1        

  б) λ=1

   -x₁+x₂-x₃+x₄=0, 

    x₁- x₂+x₃-x₄=0,

   -x₁+x₂-x₃+x₄=0,

    x₁- x₂+x₃-x₄=0,

Откуда x₁=x₂-x₃+x_4.

-если x₂=C, x₃=x₄=0, то x₁=  C;

-если x₂=x₄=0, x₃=C, то x₁=–C;

-если x₂=x₃=0, x₄=С, то x₁=  C

Значит,

            C                       -C                        C

X² =    C      ;      X³ =     0     ;      X⁴ =    0     .

            0                         C                        0  

            0                         0                         C

Ответ: 1,-3 – собственные  значения;

    С         С         -С          С      

   -С    ,    С    ,     0     ,     0     - собственные векторы.                                                  

    С          0          С          0                                              

   -С         0           0          С