Контрольная работа по дисциплине "Линейная алгебра"

 

 

 

1 0 0 -0.05 -0.11 0.25 0 11 0 -0.5 4.25 -2.75 0 0 4 -1.27 -1.18 1

 

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1.

1 0 0 -0.05 -0.11 0.25 0 1 0 -0.05 0.39 -0.25 0 0 1 -0.32 -0.3 0.25

 

-0.05 -0.11 0.25 -0.05 0.39 -0.25 -0.32 -0.3 0.25

×

8 1 -9

=

-2.73 2.27 -5.09

 

x 1  =   -2.73

x 2  =   2.27

x 3  =   -5.09

Ответ:

 

 

4. Найдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

1) Найдем собственные числа:

 

 = −λ3+4*λ2+7*λ−10

λ1 = 1 
λ2 = -2 
λ3 = 5 

2) Для каждого λ найдем  его собственный вектор: 
λ1 = 1 
A-λE = 

 

5. Даны координаты вершин А(7;3); В(-1;9); С(0;4) треугольника. Найдите:

 

1) длину стороны АВ;

 

|AB|=√(x͞ᵦ - xₐ)² + (yᵦ-yₐ)² = √ (-1-7)² + (9-3)² = √100 = 10

Ответ:10

2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01;

Внутренний угол A можно найти по формуле:

 

7, откуда A = arctg -7.

 

Ответ: -0,12

3) Уравнение высоты, проведенной через вершину С.

 

Y – Yc = -

Y – 4 = -

3y – 4 = 4x

3y – 4x – 4 = 0

Ответ: 3y – 4x -4 = 0

6. Даны координаты вершин А1(-4;1;-4),  A2 (0;-5;0), A3 (0;0;-2), A4(-1;3;1). Найдите средствами векторной алгебры:

1) длину ребра  А2А4;

 

 

 

2) площадь грани А1А2А3;

 

Найдем площадь грани А1А2А3.  Найдем угол между ребрами:

 

 

 

а1а2( A1A2A1A3) = x1x2 + y1y1 + z1z2 = 16+6=8 = 30

 

 

S(А1А2А3) =

3) Уравнение высоты, проведенной из вершины А4

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A1A2A3: -2x + 2y + 5z + 10 = 0 
 

4) длину высоты, проведенной из  вершины А4.

 

Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины: 
 
Уравнение плоскости A1A2A3: -2x + 2y + 5z + 10 = 0 
 

 

7. Привести кривую к каноническому виду и построить ее.

Приводим квадратичную форму B = x2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

B =

1 0 0 0

 
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: 

(1 - λ)x1 + 0y1 = 0 
0x1 + (0 - λ)y1 = 0

 

1 - λ 0 0 0 - λ

= λ 2 - λ = 0

 

 

 
λ2 - λ + 0 = 0 
D = (-1)2 - 4 • 1 • 0 = 1 
 
 
Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0) 

Выделяем полные квадраты: 
для x1: 
1 (x12+2•3x1 + 32) -1•32 = 1 (x1+3)2-9 

Преобразуем исходное уравнение: 
 

Получили уравнение параболы: 
(x - x0)2 = 2p(y - y0) 
 
Ветви параболы направлены вверх (p>0), вершина расположена в точке (-3;-2,5).