Контрольная работа по дисциплине: Линейная алгебра

 

 

Федеральное агентство связи

 

Сибирский Государственный Университет  Телекоммуникаций и Информатики

 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная

По дисциплине: Линейная алгебра                                  

 

 

 

 

 

Выполнил:

Группа:

Вариант: 01

    

 

 

Проверил: ___________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск, 2012 г

 

 

 Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

 

 

Решение методом  Крамера.

Решение.

x = det A_x / det A

y = det A_y / det A

z = det A_z / det A

 

det A = = 3*3*3 + 2*1*2 + 2*1*1 – 2*3*1  - 2*2*3 – 1*1*3 =

= 27 + 4 + 2 – 6 – 12 – 3 = 12             

det A_x = = 45 + 22 + 1 – 33 – 6 – 5 = 24     

det A_y = = 9 + 10 + 22 – 2 – 30 – 33 = -24

det A_z = = 99 + 4 + 10 – 30 – 44 – 3 = 36

 

Теперь найдем значения неизвестных:

x = det A_x / det A = 24 / 12 = 2

y = det A_y / det A = -24 / 12 = -2

z = det A_z / det A = 36 / 12 = 3

 

Решение методом Гаусса.

Запишем исходную систему.

Исключим  переменную x из всех уравнений, за исключением первого.

Умножим коэффициенты уравнения 2 на -1 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 1.

 

 

Умножим коэффициенты уравнения 1 на -2 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 2.

 

 

Умножим коэффициенты уравнения 1 на -2 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.

 

Исключим  переменную x₂ из последнего уравнения.

 

Умножим коэффициенты уравнения 3 на -2 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 2.

 

 

Умножим коэффициенты уравнения 2 на 3 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.

 

 

Обратный ход.

Рассмотрим  уравнение 3 последней получившейся системы: 

 

-12z=-36

z=3

Рассмотрим  уравнение 2 последней получившейся системы: 

_-y-5z=-13

 

Из  данного уравнения , найдем значение переменной y. 

_y=-5z+13

 

Подставим, ранее  найденное, значение переменной z.

 

y=-5*3+13

y=-2

 

 

Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы: 

 

x-y=4

 

Из данного уравнения , найдем значение переменной x. 

 

x=y+4

 

Подставим, ранее найденное, значение переменной y.

 

x=(-2)+4

x=2

 

Ответ :

 

x=2

y=-2

z=3

 

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти:

1. длину ребра А₁А₂;
2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;
3. площадь грани А₁А₂А₃;
4. уравнение плоскости А₁А₂А₃.
5. объём пирамиды А₁А₂А₃А₄.

2.1. А₁ ( 1; -1; 2), А₂ ( 1; 3; 0), А₃ ( 3; 0; -2), А₄ ( 5; -2; 1).

Решение:

1. Длина ребра  равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле

 

. (формула 1.1)

 

2. Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

2. Угол между  ребрами будем искать, используя  формулы векторной алгебры: 

(формула 2.1)

(формула 2.2)

В нашем случае , . Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

  (градусов).

3. Площадь треугольника  можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае, ;

 

Имеем,

Итак, площадь  грани  равна (кв.ед.)

4. Уравнение  плоскости  будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и :

,

 

 

 

 

. 5. Объем пирамиды  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

. (формула 5.1)

Найдем смешанное  произведение векторов , и :

 

(куб.ед.)

Ответы:

1. длина ребра равна (ед.)
2. угол между ребрами и равен  (градусов).
3. площадь грани равна (кв.ед.)
4. уравнение плоскости (в общем виде):

5. объем пирамиды

            равен  (куб. ед.).