Контрольная работа по дисциплине "Математика"

Контрольная работа по математике за 1 семестр

 

Вариант 5

 

«ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

 

1. Вычислить предел

Решение:

 

=

 

.

 

 

 

2. Найти асимптоты функции

 

Решение:

Найдем область определение данной функции

 

Вертикальными асимптотами для данной функции будут прямые

Найдем горизонтальную асимптоту

Таким образом, горизонтальной асимптотой будет прямая

Наклонной асимптоты нет, т.к. коэффициент k=0, действительно наклонная асимптота имеет вид где и .

 

 

3. Определить глобальные экстремумы

   при хÎ[3,4]

 

Решение:

Найдем производную функции, затем приравняем ее к нулю, чтобы определить точки экстремума.

 

х=2 не принадлежит заданному промежутку. Найдем значения функции на концах промежутка:

Получаем, что на указанном отрезке данная функция достигает минимума в точке с абсциссой равной 3, а максимума в точке с абсциссой равной 4.

 

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Решение:

Областью определения функции является вся числовая прямая. Найдем производную функции:

 

 

x		-2	(-2; 0)	0	(0; 2)	2	(2; ∞)
	-	0	+	0	-	0	+
	↓	-4	↑	0	↓	-4	↑
		min		max		min

 

 График функции:

 

 

 

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

 

 

Решение:

Областью определения функции служит вся числовая прямая. Найдем первую производную функции:

Далее находим вторую производную:

х-2=0→х=2

В промежутке (-∞; 2) вторая производная имеет знак «минус», поэтому график на данном промежутке выпуклый. В промежутке (2; ∞) вторая производная имеет знак «плюс», поэтому график на данном промежутке вогнутый. Найдем координаты точки перегиба:

.

 

 

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»

 

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

Решение:

1. Область определения:
2. Область значений:
3. Четность, нечетность: функция нечетная, т.к. выполняется условие . . График данной функции будет симметричен относительно начала координат.
4. Периодичность: периода нет.
5. Нули функции: график функции не имеет пересечений с осями координат.
6. Монотонность, точки экстремума: Найдем производную функции

Найдем точки экстремума

x		-2	(-2; 0)	0	(0; 2)	2	(2; ∞)
	+	0	-	0	-	0	+
	↑	-2	↓		↓	2	↑
		max				min

 

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба: Найдем вторую производную

В промежутке (-∞; 0) вторая производная имеет знак «минус», поэтому график на данном промежутке выпуклый. В промежутке (0; ∞) вторая производная имеет знак «плюс», поэтому график на данном промежутке вогнутый. Точек перегиба нет.

8. Асимптоты:

Вертикальная асимптота: х=0;

Горизонтальная асимптота: , следовательно горизонтальной асимптоты нет.

Наклонная асимптота: наклонная асимптота имеет вид где .

.

Таким образом, наклонная асимптота имеет вид .

9. График функции:

 

 

2. Найти локальные экстремумы функции

Решение:

Найдем стационарные точки, т.е. точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума. Для этого вычисляем частные производные, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений:

 

→ → →

Проверим выполнение достаточных условий экстремума

  ,    ,    .

Так как и , то в точке данная функция имеет минимум.

.

 

3. Определить экстремумы функции

,   если х+2у=6, х>0, у>0

Решение:

Из условия х+2у=6 получаем х=6-2у. Подставим в данную функцию и получим уже функцию одного переменного.

Найдем производную функции

.

Приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума

.

Это квадратное уравнение. Поделим обе части уравнения на 12 и найдем дискриминант.

 

.

 

По условию задачи х>0, у>0, т.е. остается точка (4, 1). В промежутке (-∞; 1) производная функции имеет знак «плюс», а в промежутке (1; ∞) – знак «минус». Поэтому точка (4, 1) есть точка локального максимума. Остается вычислить значение функции в этой точке:

.

 

«ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

 

1 – 3. Найти неопределенный интеграл

Решение: Подкоренное выражение преобразуем следующим образом:

. Получаем

.

Решение: Для того чтобы найти интеграл применим метод замены переменной

.

Решение: Применим метод интегрирования по частям

4. Вычислить 

Решение: Применим метод замены переменной

.

5. Определить объем тела вращения  вокруг оси абсцисс плоской  фигуры, ограниченной кривыми 

Решение: Формула для вычисления объема тела имеет вид .

График функции показан ниже. Исходя из условия задачи, заметим, что пределы интегрирования a=0, b=8.

 

 куб.ед.