Контрольная работа по дисциплине «Высшая математика»

 

Решим данную систему методом  Гаусса:

Записываем расширенную  матрицу системы и преобразуем  ее к 

треугольному виду, действуя только со строками.

 

1   -1   -1    2     1            1   -1   -1    2    1           1  -1  -1    2    1

2    3     3   -4     5   →   0    5    5   -8    3    → 0   5    5   -8   3   →

1    1     2     5   -3            0    2    3    3   -4           0   2    3    3  -4

4    2     3    16  -9            0    6    7    8  -13          0   0   -2  -1   -1

        1   -1  -1    2    1             1  -1  -1     2     1

→    0    5    5   -8    3    →  0   5    5   -8     3

          0    0   -5  -31  26           0   0   -5  -31   26

          0    0   -2   -1   -1            0   0    0   57  -57     .

 

Таким образом, данная система примет вид:

 

  x₁ – x₂ – x₃ + 2x₄ = 1

     5x₂ + 5x₃ – 8x₄ = 3

           -5x₃ – 31x₄ = 26

                      57x₄ = -57

 

Отсюда находим:

x₄ = -1,  -5x₃ = 26 – 31,   5x₂ = 3 – 5 – 8,  x₁ = 1 – 2 + 1 + 2,

                   x₃= 1.                x₂ = -2.             x₁ = 2.

 

Ответ: (2; -2; 1; -1).

7.   Дана система линейных уравнений:

     2x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 2x₄ = 3,

     4x₁ + 5x₂ + 5x₃ + 4x₄ = 6,

     2x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ = 3,

     2x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 2.

      Докажите, что система совместна.  Найдите ее общее решиние.

     Найдите  частное решение, если x₂= -1.

 

     Решение:  применим к этой системе метод  Гаусса. Запишим расширенную матрицу  системы и преобразуем ее, приведя к виду

из которого легко увидеть базисный минор:

     2    2    3    2    3          2    3    2    2    3         2    3    2    2    3

     4    5    5    4    6   →   4    5    4    5    6  →   0   -1    0    1    0   →

     2    3    2    2    3          2    2    2    3    3         0   -1    0    1    0

     2     3   2    3    2          2    2    3    2    2         0   -1    1   -1    0

 

       2    3   2    2    3

→   0   -1   0    1    0

       0    0    1   0  -1

 

 Отсюда следует,  что ранг основной и расширенной  матриц равен трём.

В качестве базисного выберем  минор  2    3    2    ≠ 0, т.е. неизвестные

        0  -1    0  

                                                                  0    0    1

  x₁, x₃, x₄ – приняты в качестве зависимых, x₂ – в качестве независимой

(свободной)  переменной. Данная система эквивалентна  системе:

        2x₁+ 3x₃+ 2x₄+ 2x₂= 3

                          -x₃ + x₂ = 0      -

                                    x₄= -1

  Выражаем зависимые переменные через свободные:

          2x₁= -3x₃ - 2 ×(-1) – 2x₂+3

          x₃ = x₂                                   

               x₄ = -1   

 

    Общее решение системы :                                             

 

      x₁ = 2,5(1-x₂)

      x₃ = x₂

         x₄ = -1  

   Полагая, что x₂ = -1, находим x₁= 2,5(1+1) = 5, x₃= -1, x₄= -1. Мы получили частное решение (5; -1; -1; -1).

  Ответ:     x₁ = 2,5(1-x₂)

                  x₃ = x₂

                           x₄ = -1  

 Частное решение: (5; -1; -1; -1).

 

8.  Дана система линейных однородных уравнений:

     x₁ + x₂ - x₃ - 2x₄ – x₅ = 0,

     x₁ + x₂ + 3x₃ + 4x₄ – x₅ = 0,

     x₁ + x₂ – 5x₃ – 8x₄ – x₅ = 0.

     Докажите, что система имеет нетривиальное  решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

     Решение:  исследовать систему будем методом  Гаусса. Записываем ее матрицу  и действуя только со строками, упрощаем ее, не меняя ранга:

 

         1     1  -1   -2   -1            1     1   -1  -2   -1

A =   1     1    3    4   -1   →     0     0    4    6    0

         1     1   -5  -8   -1            0     0   -4   -6    0   

 

Видно, что последние  две строки пропорциональны. Одну из них, например последнюю, можно вычеркнуть, не меняя ранга матрицы.

Ранг матрицы  r = 2 , что меньше пяти – числа неизвестных. Следовательно система имеет нетривиальное решение. Выделенный

минор примем за базисный. При этом x₃ и x₄ – зависимые переменные,

а  x₁, x₂ и x₅ – свободные. Тогда получим систему, эквивалентную

исходной:

      x₁ + x₂ – x₃ – 2x₄ – x₅ = 0;

                          4x₃ + 6x₄ = 0.

 

     2x₁ + 2x₂ – 2x₃ – 4x₄ – 2x₅ = 0;

                                 2x₃ + 3x₄ = 0.

   

  Общее решение  системы уравнений:

 

    x₄ = 2x₁ + 2x₂ – 2x₅;

     x₃ = -3x₁ – 3x₂ + 3x₅.

 

  Фундаментальная  система решений имеет 5 – 2 = 3 решение. Получаем три частных  линейно независимых решения,  придавая поочередно свободным  реизвестным значения: (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

 

    (1, 0 ,-3, 2, 0);       Эти решения образуют фундаментальную систему

    (0, 1, -3, 2, 0);       решений.

    (0, 0, -3, 2, 1).

  Ответ: общее решение:       x₄ = 2x₁ + 2x₂ – 2x₅;

                                                 x₃ = -3x₁ – 3x₂ + 3x₅.

 

    фундаментальная система решений:           (1, 0 ,-3, 2, 0);

(0, 1, -3, 2, 0);      

                                                                             (0, 0, -3, 2, 1).

9. Найдите a , если a = 6p – r , p  = 2√2,    r  = 3, (p, ^ r) = 45 градусов.

  

    Решение:  a  ² = (a,a) = (6p – r , 6p – r ) = 36  p  ² – 12 (p , r ) +  r  ² =

                                                     √2

  = 36 × ( 2√2 )² – 12 × 2√2 ×3 × − + 3² = 288 – 72 + 9 = 225.

                        √2                           2

  сos45град. =   − .

                          2

   a  = √225  = 15.

    Ответ:  a   = 15.

10.  Найдите угол ( в градусах), образованный вектором [ AB , BD ] с

  осью OY, если А(-5, 1, 1); В(1, -2, -2); D(-1, -4, -1).

       Решение: найдем векторы АВ и BD :

   AB = (6, -3, -3); BD = (-2, -2, 1);

       Вектороное произведение равно:

             i       j      k                    _{-3    -3}

AB =    6     -3    -3    =  i  ×                 -

            -2    -2     1                    ^{-2      1}   

           _{6    -3                 6     -3}

-  j                 +  k                 =  -9i – 0j – 18k = -9(i + 2k).

          ^{-2     1                -2     -2}

 Косинус  угла между вектором [AB , BD] и осью OY (вектором j ) находим по формуле:

             ([AB , BD] , j  )             -9 × 0 – 0 × 1 – 18  × 0

Cosγ =                                    =                                             =  

               [ AB , BD ]  × j          √(-9)² + 0² +(-18) ²  × 1

 

               0

=                        =   0 ;

         √ 405 × 1

γ = arccos 0 = 90 град.

Ответ: γ = 90 град.

 

11. Линейный оператор  А действует в R₃ → R₃ по закону

   Ax = (3x₁ , -x₁ + x₃ , 2x₁ – 4x₂ + 4x₃), где x(x₁, x₂, x₃) – произвольный

   вектор. Найдите матрицу  А  этого оператора в каноническом базисе.                              Докажите что вектор x (1, 3, 10) является собственным для матрицы А. Найдите собственное число λ₀, соответствующее вектору x . Найдите другие собственные числа, отличные от λ₀. Найдите все собственные векторы матрицы  А  и сделайте проверку.

     Решение: 1. так как  А (1, 0, 0) = (3, -1, 2), A(0, 1, 0) = (0, 0, -4), 

  A(0, 0, 1) = (0, 1, 4), то записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу А:

                3    0   0

   A =     -1    0   1

                2  -4   4    .

 

     2. Проверим, что вектор x (1, 3, 10) является собственным матрицы А. Находим:

                 3    0    0        1             3 + 0 + 0               3               1

   AX =    -1    0    1   ×   3    =     -1 + 0 + 10      =     9     = 3    3

                 2   -4    4       10            2 – 12 + 40           30            10   .

 

       

 Так как AX = 3x, то отсюда следует, что вектор x (1, 3, 10) собственный и отвечает собственному числу λ ₀ = 3.

     3. Чтобы найти все другие собственные  числа, составляем характерестическое  уравнение:

                              3 – λ      0       0                             _{- λ        1}

        А – λЕ  =         -1      - λ       1        =   (3 – λ) ×                        -

                                  2       -4    4 –  λ                           ^{-4      4 – λ}

                  _{-1       1                    -1       -λ                              - λ        1}

        - 0                      + 0                   = (3 – λ ) ×                    =

                       ^{2     4 –  λ                  2       -4                                -4     4 - λ}  

 

  = (3 – λ ) (-λ(4 – λ) – 1 × (-4)) = (3 – λ ) (λ² - 4 λ + 4) = (3 – λ ) (λ – 2 )².

 

   Приравняем  полученное выражение к нулю  и найдем собственные числа: 

   (3 – λ ) (λ – 2 )² = 0,

    3 –  λ = 0, λ ₀ = 3 – это число нам уже известно.

    (λ  – 2 )² = 0, λ₁ = 2 – второе собственное число.

       Собственными числами являются – 2 и 3.

     Находим  собственные векторы, отвечающие  этим собственным числам.

     λ  = 2. Собственные векторы, отвечающие  этому собственному числу, образуют  фундаментальную систему решений  системы линейных однородных  уравнений:

    (3 – 2 ) x₁ = 0                              x₁ = 0

    -x₁ – 2x₂ + x₃ = 0                        -x₁ – 2x₂ + x₃ = 0

    2x₁ – 4x₂ + (4 – 2 )x₃ = 0            2x₁ – 4x₂ + 2x₃ = 0

Определитель системы  совпадает с определителем  А  – Е  = 0.

 Ранг матрицы системы равен двум. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения.

 Складывая  1 и 2 уравнение получим:

 x₃ = 2x₂. тогда общее решение системы:

        x₁ = 0,           

        x₃ = 2x₂

 Пусть x₂ = 1, найдем собственный вектор x = (0, 1, 2).

 Проверка:

   3   0    0         0         0 + 0 + 0         0              0

  -1   0    1   ×   1   =    0 + 0 + 2    =   2   =  2     1

   2  -4    4        2          0 – 4 + 8         4              2     ,

то есть вектор (0, 1, 2) является собственным и отвечает собственному числу λ = 2.

                       3    0    0

 Ответ: А =   -1    0    1   , λ₀ = 3, λ₁ = 2, x  = (0, 1, 2) при λ = 2.

                        2  -4    2