Контрольная работа по "Линейная алгебра"

ВАРИАНТ 6

(для студентов, номера личных  дел которых оканчиваются цифрой 6)

1.Даны матрицы:

 и 

Найти матрицу  и выяснить, имеет ли она обратную.

Решение:

Вычислим определитель полученной матрицы:

.

Следовательно, матрица С обратной не имеет.

2.Методом Гаусса решить систему уравнений:

Приведём расширенную  матрицу системы к ступенчатому виду:

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2, а из третьей строки – первую, умноженную на 3.

Вычтем из третьей  строки вторую, умноженную на 5.

Следовательно,

.

Ответ: .

3. Выяснить, является ли совместной система уравнений:

Решение:

       Согласно теореме Кронекера-Капелли, для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу её расширенной матрицы, т.е.

Приведём расширенную  матрицу системы к ступенчатому виду:

Прибавим к третьей строке первую, а из второй вычтем первую, умноженную на 2:

К четвёртой строке прибавим вторую, а к третьей прибавим вторую, умноженную на 2:

Так как ранг , то система совместна.

4. Записать квадратичную форму в матричном виде. Определить значения параметра a, при которых квадратичная форма является знакоопределенной.

Решение:

Матрица данной квадратичной формы имеет вид: .

Определитель  матрицы: .

Для того, чтобы  форма была знакоопределена, необходимо, чтобы  .

В таком случае форма будет строго положительно определённой.

При форма будет положительно определённой.

 

 

5. Точки , и являются вершинами параллелограмма ABCD. Найти уравнения сторон АВ и AD  и координаты четвертой вершины С, противолежащей вершине А. Сделать чертеж.

Решение:

Уравнение стороны  АВ: .

Уравнение стороны AD: .

Поскольку прямая BC параллельна прямой AD, то они имеют  один и тот же направляющий вектор, поэтому уравнение прямой BC можно  записать в виде: . Аналогично прямые AB и DC имеют один направляющий вектор, поэтому уравнение прямой DC имеет вид .

Координаты  точки С находим, решая систему

  ,

  .

6. Найти значения параметров α и b, при которых плоскости   и будут параллельны.

Решение:

Данные плоскости  будут параллельны, если выполняется соотношение . Отсюда .

Данная  работа скачена с сайта http://www.vzfeiinfo.ru ID работы: 43210