Контрольная работа по линейной алгебре

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Забайкальский  государственный университет»

(ФГБОУ ВПО  «ЗабГУ»)

Факультет дополнительного  профессионального образования

Кафедра прикладной информатики и математики

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Линейная алгебра»

Вариант № 2

 

 

 

 

 

 

Выполнил ст. гр. ЭКОдо-13

                                                      Бакшеева О.А.

       Проверил преподаватель

кафедры ПИМ

Грибанова Н. Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чита

2013

 

Дана система  уравнений 

Задание №2

Решить систему  тремя способами: 1) по правилу Крамера; 2) с помощью обратной матрицы; 3) методом  Гаусса

1. Решить систему по правилу Крамера

Решение:

∆= значит, система имеет единственное решение.

=

=

=

Проверка:

⟹

Ответ: x=-2; y=-4; z=-5

2) Решить систему с помощью обратной матрицы

Решение. Обозначим

; ,

, матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

Выполняя действия над матрицами, получим:

Проверка:

⟹

Ответ: x=-2; y=-4; z=-5

1. Решить систему методом Гаусса

Запишем расширенную  матрицу системы:

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

Ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –8:

→

К третьей строке прибавить первую строку, умноженную на 4:

→

К третьей строке, умноженной на 5, прибавляем вторую строку, умноженную на 3:

→

Проверка:

⟹

Ответ: x=-2; y=-4; z=-5

Задание №12

Исследовать систему  уравнений с помощью теоремы  Кронекера -Капелли, в случае совместности найти ее решения 

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

=

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу  =4 ; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

= =0, = =0

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы `A рассмотрим окаймляющий минор

,

значит, ранг расширенной  матрицы r(`A) = 3. Поскольку r(A) ¹ r(`A), то система несовместна.

Задание №22

Найти собственные  значения  и собственные векторы  линейного преобразования

 

=

=0

=0

Задания №32

Привести квадратичную форму к каноническому виду

, =

 

Формулы преобразования координат запишем в виде:

 

 

Подставляем выражения  «старых» координат через новые  в исходное уравнение и, проделав достаточно громоздкие, но простые преобразования, получаем:

Выделяем полный квадрат по и можем записать: